Как математика познает самое себя

[1]

История науки знает немало примеров, когда молодой ученый, добившись крупных успехов в конкретной научной дисциплине, ощущает по достижении зрелого возраста потребность «остановиться, оглянуться», осмыслить свою науку в целом, понять ее связь с другими науками, ее место в мире человека. Такая работа обычно сначала проделывается «для себя», продолжая линию самоопределения, свойственную каждому взыскательному ученому. Если же специалист при этом ощущает свое общественное призвание и обладает определенными способностями к его реализации, то в результате у него появляется серия ярких сочинений, вносящих вклад в то, что можно назвать конкретной философией науки, т. е. философских методологических положений, окрашенных личным опытом автора.

Заметим, что появление подобного рода сочинений реализует не только потребность авторов. В еще большей степени это явление отражает потребность читателя, при этом не только молодого человека, стремящегося получить ориентацию и приобщиться к мудрости старшего, но и ровесника — коллеги из смежной науки, ощутившего необходимость преодолеть цеховую ограниченность и совладать с неделимостью объекта исследования с помощью синтеза идей из разных наук. Научно-популярная литература уже давно перестала быть всего лишь пищей ненасытной любознательности подростков или гимнастикой от лености ума. Все в большей степени она помогает движению идей из одной науки в другую, противопоставляя единству мира единство научного метода.

Вышедшая недавно в издательстве «Советское радио» книга Юрия Ивановича Манина[2] под названием «Доказуемое и недоказуемое», как мне кажется, убедительно подтверждает сделанное выше общее наблюдение. Автор книги, старший научный сотрудник Математического института Академии наук СССР и профессор Московского государственного университета, по праву считается одним из наших ведущих математиков. Достаточно сказать, что Ю. И. Манину в 1968 году в его 30 лет была присуждена Ленинская премия за выдающиеся работы в области алгебраической геометрии.

Позволю себе сказать несколько слов об этой «основной» специаль­ности автора. Конечно, было бы натяжкой буквально выводить предмет книги общего содержания из, как принято говорить, узких профессиональных интересов автора. Однако можно сказать без боязни ошибиться, что алгебраическая геометрия, одна из наиболее «реальных» и синтетических математических дисциплин, сформировавшая свой предмет на весьма на­глядных представлениях, за последнее время претерпела существенную перестройку на основе аксиоматических теорий и «неклассических» полей. Тем самым она дает богатый материал для размышлений о сущности и единстве математического метода, о силе и пределах математического знания.

Приступим теперь к обзору книги. Прежде всего обращаем внимание на компактность книги (три главы объемом чуть меньше 10 печатных листов) и на ее оформление, характерное для массовых научно-популярных изда­ний. Это настраивает взявших книгу в руки на легкое чтение, что было бы заблуждением, от которого хотелось бы предостеречь с самого начала. Уже бегло пролистав книгу, мы увидим, что ее основу составляет математический текст — о его особенностях мы еще поговорим, — при этом очень далекий по стилю от «жвачки», к которой нас приучают кое-какие вузовские учебники.

Охарактеризуем с приблизительностью, извинительной для краткой рецензии, математическое содержание книги. Ее основную часть (половина 2-й и вся 3-я глава) составляют доказательства двух знаменитых теорем современных оснований математики: теоремы Геделя о неполноте любой развитой математической теории и теоремы Геделя—Коэна о независимости континуум-гипотезы от аксиоматики теории множеств.

Поясним сначала содержание теоремы Геделя. Любая строгая матема­тическая теория — это формальный язык, позволяющий записывать некото­рое множество символических формул, каждая из которых выражает определенный математический факт. В этом языке выделяется исходное множество формул-аксиом, а также определяются правила вывода, т. е. закономерного получения одних формул (теорем) из других (теорем и аксиом).

Для того чтобы придать реальный смысл формальной теории, или, как говорят, дать ей интерпретацию, для нее строится модель — некоторая система «конкретных» объектов, свойства которых могут быть проверены какими-то средствами, внешними к формальной теории. Например, свойства фигур из евклидовой геометрии можно описывать числовыми формулами. Тогда, скажем, теорему, выражающую свойство суммы углов треугольника, можно как доказать на основе аксиом, так и проверить, получив тригонометрическим путем нужную формулу.

многие выдающиеся математики, от Лейбница в XVII веке до Гильберта в XX, видели высшую цель математики в создании такой всеобъемлющей формальной теории, в которой выражались бы все математические факты и были бы доказуемы все теоремы, истинность которых проверяется в подхо­дящих моделях. Гедель нанес сокрушительный удар по таким слишком пря­молинейным представлениям о всемогуществе математики, доказав, что уже в арифметике натуральных чисел, как бы ни строилась ее формальная теория, всегда будут существовать утверждения, истинность которых мо­жет быть проверена, но которые будут недоказуемы в этой теории.

Теперь несколько слов о континуум-гипотезе. Любые два множества сравнимы по мощности: либо они равномощны, либо одно «больше» другого. Мощность конечного множества равна числу его элементов, и добавление к нему уже одного элемента увеличивает его мощность. Для бесконечных множеств это не так: объединение даже счетного количества счетных множеств дает в результате множество той же мощности — счетное. Мно­жеством заведомо большей мощности, нежели данное, является множество всех его подмножеств, или степень множества: это известная теорема Кантора.  Им же и была высказана гипотеза, что мощность степени мно­жества М — это ближайшая мощность вслед за мощностью М. Эта гипотеза получила название континуум-гипотезы потому, что из нее, в частности, следует, что континуум, т. е. множество действительных чисел, — это «наименьшее» несчетное множество.

С континуум-гипотезой произошла история, до некоторой степени аналогичная постулату о параллельных прямых в геометрии. После не­скольких десятков лет тщетных попыток доказать иди опровергнуть эту гипотезу Геделем и Коэном была доказана независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств. Гедель построил систему так назы­ваемых конструктивных множеств, в которой континуум-гипотеза выпол­няется, а Коэн, с другой стороны, разработал метод «форсинга», или вынуждения, для построения моделей теории множеств, обладающих рядом замечательных свойств, в том числе содержащих несчетные множества мощности, меньшей континуума.

Доказательства указанных теорем требуют основательной подготови­тельной работы. Этим автор занимается в первых полутора главах: опи­сывается формальный язык для аксиоматического построения математических теорий (язык предикатов первого порядка). Этот язык тут же применяется для описания двух формальных теорий, используемых в книге: арифметики (аксиоматика Пеано) и теории множеств (аксиоматика Цермело—Френкеля). На весьма скромной «жилплощади» автор без больших пробелов размещает основные факты теории моделей и доказательств, т. е. связи между формальными теориями и их интерпретациями, между выводимостью (доказуе­мостью) и истинностью. Изложение доводится до теоремы Геделя о полно­те исчисления предикатов и теоремы Левенгейма—Сколема о существовании счетных подмоделей. В качестве основной модели теории множеств автор описывает систему множеств, известную под названием «универсума фон Неймана».

Неотъемлемую (а для некоторых читателей, возможно, и главную) часть книги составляют авторские «отступления», в которых он дает общенаучный и философский комментарий к излагаемому материалу, говорит о математическом методе и о математике в целом в ее связи с другими науками и ее роли в построении картины мира. Среди этих отступлений несколько особняком стоит экскурс в квантовую физику. Показанная в этом отступлении теорема о несуществовании скрытых параметров в квантово-механической теории дает богатую пищу для размышлений о том, как математика предотвращает от произвольности взгляда на дейст­вительность.

Книга Ю. И. Манина представляет интерес уже одним своим появлением. Советские ученые не остались в стороне от формирования современных оснований математики, и ими получен ряд выдающихся результатов. Однако на книжной полке по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов до последнего времени переводная литература заметно тесни­ла оригинальные тексты. Поэтому выход подобного рода книги, к тому же адресованной достаточно широкому кругу читателей, обращает на себя внимание.

Объективная подача материала является основой научной литературы, однако даже в математике может быть «авторская книга», как в искусстве, скажем, «авторский кинематограф». Жанр рецензируемой книги определить непросто, однако ее авторский характер — первое, что хочется о ней сказать. Автор вносит в нее, прежде всего, характерный стиль современной математической литературы: сжатый, упругий текст, в котором симво­лы без всякой избыточности грамматически входят в связную речь; лег­кий синкопированный ритм изложения, несколько угловатого на первый взгляд, но зато очень экономного и «задиристого». Эта особенность авторской речи, естественно, наиболее заметна в отступлениях, говорит ли он о социальном акте «принятия доказательства», о «внутреннем» (интуитивном), «внешнем» (строго математическом) и «реалистическом» (физическом, природном) аспектах семантики математического текста или же знакомит нас с древнеисландскими кеннингами, предвосхитившими косвенную адресацию в современных языках программирования.

Чтение этой книги — дорогое удовольствие, что-то вроде горных лыж: при беззаботном подходе можно не только сильно потратиться, но и потерять здоровье. Если текст книги — это айсберг, то первое и бег­лое чтение «Доказуемого и недоказуемого» — это даже не обследование его надводной части, а только взгляд с самолета перед высадкой. Зато укрепившись на поверхности, пройдя ее вдоль и поперек и продравшись сквозь покров необозначенных ссылок и необъясненных терминов к внут­ренней структуре книги, мы сможем оценить четкость мысли, прозрачность изложения и глубину материала. Книга Ю. И. Манина — это не учебник, компромисс двух «обязанностей»: студента, которому надо освоить ма­териал, и автора, который должен изложить его удобным для студента способом. Эту книгу прочитает тот, кто заранее захочет это сделать и кто готов приобщиться к авторскому видению материала и способу его подачи. Возможно, что сделать это будет не просто, но работа над кни­гой не только обогатит читателя знанием ряда коренных проблем матема­тики, но и поможет ему в преодолении какого бы то ни было школярства при чтении математической литературы.

Признание за автором права написать книгу так, как ему хотелось, не мешает, тем не менее, оценить, как же он справился с им же поставленной задачей. Если взять за данное допустимый объем книги, за конечную цель — теоремы Геделя и Коэна и за девиз — «никакой профанации», то тогда надо сказать, что книга в целом удалась. С особым искусством, по-моему, изложены теорема Геделя о полноте и вся третья глава, посвя­щенная континуум-гипотезе. В то же время книге, на мой взгляд, не хва­тило некоторой скрупулезности в редакционной подготовке. Я не в пре­тензии за недостаток перекрестных ссылок (книга невелика) или необъясненность ряда понятий (можно порыться в литературе). Мало того, при увлекательной подаче материала в целом, сама недосказанность ряда моментов играет свою побудительную роль, обращая читателя к продолже­нию знакомства с предметом по другим источникам.

В книге, однако, есть ряд технических погрешностей, которые не объяснить авторским замыслом: неполнота указателя, отсутствие списка обозначений, использование леммы Цорна без ее формулировки, внесение в оглавление звучного, но не объясненного в тексте слова «форсинг» и, наоборот, исчезновение из оглавления приложения об универсуме фон Неймана и т. п. К сожалению, типография не справилась с набором: в тексте много опечаток, к счастью, в основном исправимых, а кванторы всеобщности и существования, свисающие со строки вниз головой, взывают к жалости. Есть в книге и ребусы. Я убивался с полчаса над обозначе­нием xi  (которое на стр. 113 называлось i-й проекцией, а на стр. 120  i-й координатой), где i — элемент несчетного множества, а  х — функ­ция на этом множестве, пока не понял, что xi — это константная функ­ция, тождественно равная х(i).

Надеюсь, что моя критика не отвратит потенциального читателя от знакомства с этой своеобразной и побуждающей к размышлению книгой. Специалисты по логике и основаниям математики найдут здесь немало полезного в способе изложения нескольких фундаментальных теорем и, надо полагать, не без интереса воспримут убедительную реализацию права каждого глубокого математика формировать и излагать свое пони­мание сущности математики и ее метода.

Для коллег-математиков эта книга — прямой и экономный способ познакомиться с развернутым и методологически полноценным изложением выдающихся достижений их собственной науки, представление о которых становится неотъемлемой компонентой математической культуры и круго­зора.

Для учителей и преподавателей неторопливая и углубленная прора­ботка этой книги станет благодарным трудом, который приобщит их к глубоким основам математики, укрепит их способность к чтению современ­ной математической литературы.

Надеюсь видеть в качестве наиболее многочисленной категории чита­телей молодых специалистов из смежных наук и областей — инженеров, программистов, научных работников, которые, освоив вузовский курс наук, хотели бы перед лицом математизации их области деятельности сформировать собственное представление о сущности, силе и границах математического метода на основе непосредственного и активного зна­комства с тем, как математика познает самое себя.

Примечания

[1] Рецензия на книгу Манин Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. — М.: Советское радио, 1979. Несколько сокращенный вариант опубликован в журнале «Природа». — 1980. — № 7. — С. 119—122. Машинописный текст, слева от руки дата 31.01.1980. Архив, папка 230, листы 157—164.

[2] Юрий Иванович Манин (р. 1937) — математик, член-корр. РАН (с 1990), директор Института математики имени Макса Планка в Бонне, продолжает оставаться в штате Математического института им. В. А. Стеклова РАН (с 1960).

Из сборника «Андрей Петрович Ершов — ученый и человек». Новосибирск, 2006 г.
Перепечатываются с разрешения редакции.