Развитие теории оптимального приема непрерывных сигналов В. А. Котельникова

М. А. Быховский

Введение

Академик Владимир Александрович Котельников внес огромный вклад в развитие науки в нашей стране. Многие его научные достижения имеют исключительно большое значение и признаны во всем мире. К числу таких достижений в области связи относится созданная им в 1946 г. теория потенциальной помехоустойчивости.

Эта теория принесла человечеству замечательные плоды. Сегодня она позволяет на основании результатов теоретического анализа решать многочисленные практические задачи.

Огромное значение теоретических работ и, в частности, созданной В. А. Котельниковым теории потенциальной помехоустойчивости состоит в том, что их положения становятся доступными и быстро усваиваются многими людьми, не наделенными той мощной интуицией, которая присуща лишь некоторым первооткрывателям. Эти люди получают возможность в учебных заведениях усвоить основные принципы своей профессии и включиться в процесс созидания. Теория, таким образом, становится сильнейшим катализатором, ускоряющим прогресс.

Поэтому одной из важных заслуг В. А. Котельникова является то, что он открыл перед сотнями ученых новое поле творческой деятельности. В данной статье мы остановимся на развитии отечественными учеными одного из разделов созданной В. А. Котельниковым теории потенциальной помехоустойчивости — теории оптимального приема аналоговых сообщений.

Основы теории оценки параметров сигналов

Одним из разделов разработанной В. А. Котельниковым теории потенциальной помехоустойчивости явилась теория оптимальной оценки параметров передаваемых сигналов. Ученым, в частности, были рассмотрены задачи, связанные с системами передачи отдельных значений информационных параметров сигналов по каналам связи, и получены оценки точности измерения параметров сигналов в случаях, когда эти параметры передаются методами амплитудной (AM), частотной (ЧМ), фазовой (ФМ), амплитудно-импульсной и время-импульсной модуляций. Была показана принципиальная возможность повышения помехоустойчивости приема сигналов без увеличения их энергии, длительности и ширины спектра.

В. А. Котельников дал геометрическое толкование полученных им результатов и сделал весьма важный в теоретическом и практическом отношении вывод, что при любых видах модуляции «... чрезмерное увеличение помехоустойчивости для малых помех без увеличения удельной энергии сигнала, ширины его спектра и длительности должно обязательно сопровождаться увеличением вероятности аномальных ошибок...». Трактовка процесса модуляции как отображения значений информационного параметра на точки сложной линии передаваемого сигнала в многомерном пространстве, предложенная В. А. Котельниковым, давала ясное объяснение явления наступления порога при приеме сигналов со сложными видами модуляции (например, ЧМ). Суть этого важного для техники связи явления заключается в том, что при больших отношениях сигнал/шум на входе приемника точность измерения информационного параметра изменяется пропорционально уровню принимаемого сигнала; если же этот уровень становится ниже порогового, то при его дальнейшем снижении точность начинает уменьшаться весьма быстро. В последующие десятилетия исследованию пороговых явлений при приеме сигналов с разными видами модуляции были посвящены многие работы. Некоторые из них основывались на идеях В. А. Котельникова.

Теория В. А. Котельникова была опубликована в 1956 г. [1] и получила широкую известность. Эта работа оказала в дальнейшем сильное влияние на развитие оптимальных методов приема дискретных и непрерывных сигналов. Раздел теории потенциальной помехоустойчивости, относящийся к оптимальному приему непрерывных сигналов, развивался в направлении создания:

• методов оценки нескольких информационных параметров, содержащихся в принимаемом сигнале;
• методов оценки информационных параметров, содержащихся в сигналах, принимаемых по нескольким независимым каналам приема;
• теории нелинейной фильтрации сообщений, когда принимаемый сигнал модулирован информационным сообщением, представляющим собой случайный процесс.

Развитие теории оценок параметров сигналов

Теорию оценки параметров сигналов развивали в последующие годы многие крупные ученые. Наиболее существенный вклад в развитие данного направления теории В. А. Котельникова в нашей стране внесли: чл.-корр. АН СССР Л. А. Вайнштейн и его ученик В. Д. Зубаков, профессора А. Ф. Фомин, С. Е. Фалькович, Е. И. Куликов и А. П. Трифонов. В их монографиях были представлены решения многих задач, имеющих важное практическое значение.

Оценка параметров сигнала в системах с одним каналом приема

Заложенные В. А. Котельниковым основы теории оценки параметров сигналов были развиты профессором А. Ф. Фоминым, рассмотревшим [2] большой класс систем передачи информационных параметров с помощью аналоговых и импульсных методов модуляции и определил достижимую точность оценки этих параметров с учетом аномальных ошибок.

Важные исследования возможностей измерения угловых координат объектов по методу сканирования диаграммы направленности антенны радиолокатора выполнил профессор С. Е. Фалькович [3]. Метод сканирования состоит в том, что для повышения угловой разрешающей способности радиолокатора обзор пространства производится за счет перемещения антенны в пространстве. Если антенна находится на земле, то сканирование осуществляется при помощи вращения антенны вокруг оси, жестко связанной с конструкцией антенны. Если же антенна установлена на борту самолета или искусственного спутника Земли, то ее сканирование производится за счет движения летательного аппарата. Амплитудная диаграмма направленности (ДН) сканирующей антенны может быть достаточно широкой, однако ее фазовая диаграмма должна иметь существенную нелинейность. Законы изменения частоты сигналов, отраженных от каждого из лоцируемых объектов, имеющих разные угловые координаты, из-за сканирования антенны с нелинейной фазовой диаграммой существенно отличаются. Это позволяет повысить разрешающую способность радиолокатора и разделить разные объекты даже в том случае, если все они находятся в основном лепестке ДН антенны и их угловые координаты отличаются незначительно.

Профессора Е. И. Куликов и А. П. Трифонов [4] рассмотрели широкий круг задач, связанных с раздельной и совместной оценкой произвольных (энергетических и неэнергетических) параметров сигналов для различных априорных данных о принимаемом сигнале. Ими были исследованы различные (оптимальные и субоптимальные) методы оценки параметров, получены структуры соответствующих устройств. Рассмотрены конкретные примеры раздельных и совместных оценок длительности, амплитуды, временного положения, частоты, фазы и других параметров сигналов.

Широкую известность среди специалистов получила монография Л. А. Вайнштейна и В. Д. Зубакова [5], вышедшая в СССР в 1960 г. и позже опубликованная в США. В ней, в частности, была рассмотрена, по-видимому, впервые задача совместного обнаружения сигнала и оценки его параметров.

Важнейшей проблемой радиосвязи является обеспечение электромагнитной совместимости (ЭМС) радиосредств (РЭС), работающих в общих полосах частот, за счет применения компенсаторов помех (КП). Другая важная проблема связана с повышением эффективности использования радиочастотного спектра. Она заключается в нахождении таких способов передачи сигналов, которые позволяли бы в одном частотном канале передавать с высокой помехоустойчивостью несколько информационных сообщений. Теория оценок параметров дает подход к решению и этих задач.

Применительно к системам связи, в которых для передачи сообщений применяется ЧМ, проблемы исследовались М. А. Быховским. В [6] были синтезированы эффективные компенсаторы помех (КП) для систем связи с ЧМ. Оптимальные КП дают возможность обеспечить ЭМС этих систем, т. е. осуществлять прием полезных сигналов в присутствии помех с высоким качеством. Исследование системы связи, в которой два ЧМ сигнала занимают общую полосу частот, формируются на передающем конце одной линии связи и осуществляется синхронизация их несущих, показало, что разделение этих сигналов возможно даже в том случае, если оба они имеют одинаковые амплитуды. Таким образом, на основе теории оптимального приема сигналов была показана возможность существенного увеличения пропускной способности линий связи с ЧМ.

Оценки параметров сигнала в системах с несколькими независимыми каналами приема

Методы, развитые В. А. Котельниковым, были использованы для решения ряда важных практических задач, связанных с оценкой параметров сигналов в системах, где прием сигналов ведется по нескольким каналам. К данному классу задач относятся как радиолокационные задачи, связанные с оптимальной пространственно-временной обработкой сигналов, так и задачи создания многоканальных КП, обеспечивающих ЭМС различных систем связи, работающих в одном и том же частотном канале.

В начале 60-х гг. ученые стали применять теорию статистических решений к проблемам приема пространственно-временных сигналов. Такие проблемы возникают, например, в радио и гидролокации. При пространственно-временной обработке сигналов используются линейные, двумерные или трехмерные антенные решетки. При этом временная обработка сигналов в каналах, подсоединенных к элементам решетки, расположенным в различных точках пространства, получается различной. Поэтому для реализации оптимального приема сигналов требуется их совместная пространственно-временная обработка.

В данном направлении активно вели исследования и отечественные ученые. Важные результаты были получены профессорами С. Е. Фальковичем [3] и И. Н. Амиантовым [7]. В [3] найдены структуры оптимальных устройств обработки сигналов, исследованы проблемы пеленгации неподвижных и подвижных целей и рассмотрены вопросы влияния на оптимальный прием сигналов мультипликативных и аддитивных помех. В [7] был выполнен синтез оптимальных 4-канальных моноимпульсных измерителей угловых координат (система Пэйджа) источников гармонического и шумоподобного излучения. Данная система имеет четыре парциальных антенны, выходы которых связаны с отдельными каналами приема. Центры ДН этих антенн (направления максимального излучения и приема) расположены на биссектрисах координатных углов.

Началом координат является точка пересечения всех четырех парциальных диаграмм, которая определяет равносигнальное направление (см. рисунок). Изменение положения цели относительно равносигнального направления приводит к изменениям амплитуды и фазы сигналов в парциальных каналах приема. В [7] были получены оптимальные алгоритмы обработки сигналов в данной системе как при их некогерентном, так и при когерентном приеме и определена достижимая точность измерения угловых координат целей. Кроме того, в [7] было выполнено обстоятельное исследование фазовых методов измерения угловых координат целей, основанных на сравнении фаз колебаний, принятых несколькими элементами, образующими двумерную антенную решетку.

Проблема синтеза оптимальных многоканальных КП, позволяющих обеспечить ЭМС систем приема сообщений в присутствии радиопомех, также приводит к задачам, относящимся к классу тех, которые рассматриваются в данном разделе. Эта проблема важна для радиорелейных и спутниковых линий связи, в которых на ограниченной территории в одном и том же частотном канале работают несколько радиостанций. Для наиболее интересного случая, когда для передачи информационных сообщений используется ЧМ и прием сигналов, приходящих с разных направлений, осуществляется с помощью двух приемных антенн, синтез и анализ оптимальных и субоптимальных КП был выполнен М. А. Быховским [8]. Исследование показало, что применение КП является весьма эффективным средством борьбы с радиопомехами в системах связи.

Оптимальный прием аналоговых сигналов

Вплоть до 70-х гг. XX века аналоговые системы передачи сообщений были доминирующим видом систем, используемым для передачи сообщений по каналам связи. В системах, работающих в диапазонах низких, средних или высоких частот, использовалась, как правило, амплитудная модуляция (AM) с передачей двух боковых полос или одной боковой полосы (системы ОБП). Данный вид модуляции является линейным, так как передаваемый сигнал линейно зависит от передаваемого сообщения. Он широко применяется в технике связи, в частности, в телевизионном вещании. В более высокочастотных диапазонах в системах звукового вещания, в подвижной связи, в радиорелейных и спутниковых системах передачи многоканальной телефонии наиболее часто использовалась частотная модуляция (ЧМ). Этот вид модуляции является нелинейным. Он применялся не только в системах связи, но также во многих других системах: звукозаписи сигналов на магнитный носитель, системах передачи на поднесущей сигналов цветности в телевидении и т. п.

В [9] рассмотрена история развития систем радиосвязи и вещания, а также методов модуляции и приема сигналов. Уже в 30-х гг. инженеры, основываясь на интуиции и здравом смысле, изобрели методы приема сигналов с AM, ОБП и ЧМ. В случае AM повсеместное распространение получили приемники, в которых в качестве демодулятора использовался линейный детектор, для приема сигналов с ОБП применялся синхронный детектор, на который в качестве опорного сигнала подавалось гармоническое колебание, сформированное из остатка несущей, содержащейся в составе сигнала с ОБП. Наиболее распространенным демодулятором ЧМ сигналов был частотный дискриминатор — пара расстроенных контуров, в которых осуществлялось преобразование принимаемых сигналов таким образом, чтобы на их выходе амплитуда сигнала изменялась бы пропорционально его мгновенной частоте. Тогда на выходе амплитудного детектора, установленного на выходе расстроенных контуров, можно было выделить полезное сообщение. В эти же годы были изобретены фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ) и следящие демодуляторы ЧМ сигнала.

Пионерские исследования, выполненные академиком В. А. Котельниковым, показали, что при высоком отношении «сигнал/шум» на входе приемника существующие методы приема сигналов с AM и ЧМ обеспечивают потенциальную помехоустойчивость. Ученый также описал механизм возникновения пороговых явлений при приеме сигналов с нелинейными видами модуляции и наметил методы оценки порогового уровня сигнала.

Следует отметить, что одна из целей, которые преследуют инженеры при конструировании систем связи, заключается в том, чтобы эта система функционировала с заданным качеством приема сообщений при минимальном уровне сигнала, поступающем на вход приемника. Поэтому в ряде случаев важно, чтобы система была построена так, чтобы для ее нормальной работы требовался минимальный энергетический потенциал радиолинии. При низких уровнях принимаемого сигнала начинают проявляться нелинейные (пороговые) эффекты в демодуляторах. Вот почему определение структуры оптимальных демодуляторов и выбор их параметров, при которых может быть достигнута высокая помехоустойчивость приема, требует учета очень тонких физических явлений. В таких случаях весьма сложно основываться на одной интуиции и становится необходимым применение строгой теории. Такая теория была создана и весьма активно развивалась в 50-70-е гг. XX столетия. Она дала инженерам научно обоснованный инструмент синтеза эффективных систем связи. В настоящее время разработаны два ее варианта — гауссовская (ГТОП) и марковская (МТОП) — теории оптимального приема сигналов. Первой была создана ГТОП, а затем МТОП.

Гауссовская теория оптимального приема сигналов

Плодотворный подход к синтезу оптимальных демодуляторов, в основе которого лежали идеи В. А. Котельникова, был разработан в 1961 г. отечественными учеными И. А. Большаковым и В. Г. Репиным [10-12]. В их работах случайное сообщение представлялось своими отсчетами, и задача оптимальной оценки случайного сообщения сводилась к задаче оценки параметров сигнала. Они рассматривали задачу синтеза демодуляторов, оптимальных в байесовском смысле, т. е. обеспечивающих минимум «потерь». В качестве функции потерь ими была выбрана наиболее употребительная квадратичная функция, ведущая к требованию минимума среднеквадратической ошибки в оценке полезного сообщения. В этом случае для определения оптимальной оценки необходимо найти среднее значение многомерного апостериорного распределения вероятностей параметров, описывающих оцениваемый процесс. При нелинейных видах модуляции это распределение является весьма сложной функцией и точное вычисление его среднего значения затруднительно. Существенным вкладом И. А. Большакова и В. Г. Репина в теорию синтеза оптимальных демодуляторов явился предложенный ими эффективный метод аппроксимации этого распределения многомерным гауссовским распределением [10]. Такая аппроксимация является достаточно точной при сравнительно низком уровне шумов, когда «ширина» апостериорного распределения мала по сравнению с «шириной» априорного. Такой подход позволил создать общую теорию синтеза оптимальных следящих демодуляторов, которая могла бы быть применена для синтеза как когерентных, так и некогерентных систем приема сигналов, а также в тех случаях, когда принимаемый сигнал испытывает случайные флуктуации по амплитуде и фазе. Созданная отечественными учеными теория была применима и в тех случаях, когда сообщение может быть математически описано суммой линейной комбинации известных функций со случайными коэффициентами и случайного процесса. Было показано, что любой оптимальный следящий демодулятор должен содержать дискриминаторы, блоки точности и линейные сглаживающие цепи, независимо выполняющие свои функции на разных этапах обработки сигналов. Обобщение данной теории на многомерный случай [11] давало возможность рассматривать задачи, связанные с передачей нескольких независимых сообщений сразу по нескольким каналам связи. В таком виде данная теория позволяла рассматривать чрезвычайно широкий круг задач теории связи и радиолокации. К их числу относились задачи, связанные с многоканальной передачей сообщений по каналам связи, задачи разнесенного приема сигналов и т. п.

Применение ГТОП. Применение теории оптимальной демодуляции сигналов относится к задачам, связанным с проблемами радиолокации [12], с приемом ЧМ сигналов [13] и фазовой синхронизацией.

Методы, развитые в [10 и 11], были с успехом применены к большому числу проблем, связанных с радиолокацией. Многочисленный авторский коллектив создал фундаментальную монографию «Вопросы статистической теории радиолокации» [12]. По широте охвата проблем оптимального приема сигналов в радиолокации и глубине рассмотрения связанных с этим вопросов упомянутая книга стоит в одном ряду со всемирно известными монографиями, написанными выдающимися американскими учеными Д. Миддлтоном [15] и Г. Ван Трисом [16].

В отечественной монографии рассмотрен большой комплекс проблем, связанных с обнаружением сигналов и измерением дальности, скорости и угловых координат лоцируемых объектов как при импульсном, так и при непрерывном излучении сигналов. В ней рассмотрены когерентные и некогерентные методы приема сигналов. Выполнено исследование методов пеленгации объектов с использованием антенн типа фазируемых антенных решеток и антенн со сканированием диаграммы направленности. Дан анализ многомерных следящих измерителей, осуществляющих одновременное измерение сразу нескольких параметров сигналов. Рассмотрены методы оценки точности измерения параметров при большом уровне принимаемых сигналов, а также весьма важные вопросы срыва слежения в радиолокационных следящих измерителях.

Важные теоретические и экспериментальные исследования различных типов следящих и неследящих демодуляторов ЧМ сигналов, обеспечивающих снижение порога при приеме таких сигналов, были выполнены отечественными учеными В. М. Дорофеевым и Л. Я. Кантором [13]. Эти результаты нашли практическое применение при создании первого поколения отечественных спутниковых систем связи и вещания.

Методами ГТОП М. А. Быховский выполнил синтез и анализ двух канальных КП [14], которые могут с высокой эффективностью применяться для подавления помех в системах радиорелейной и спутниковой связи с ЧМ.

Марковская теория оптимального приема сигналов

Заслуга в создании этого оригинального направления теории оптимального приема сигналов принадлежит одному из крупнейших отечественных ученых — профессору Р. Л. Стратоновичу. В 1959 г. он опубликовал свою первую теоретическую работу [17], в которой рассмотрел задачу нелинейной фильтрации случайной функции на основе теории марковских случайных процессов. Хотя исходные идеи в постановке задачи оптимального приема аналоговых сигналов в теории Р. Л. Стратоновича мало отличались от подхода В. А. Котельникова, разработанные им методы синтеза оптимальных систем приема сигналов и оценки их помехоустойчивости [18] разнились радикально.

Применение МТОП. В публикациях 1960-1966 гг. Р. Л. Стратонович самостоятельно и вместе со своими учениками Н. К. Кульманом и Ю. Г. Сосулиным рассмотрел возможность применения новой теории к решению ряда практических задач: приема узкополосного сигнала с неизвестной частотой; оптимальной фильтрации телеграфного сигнала; приема сигналов на фоне негауссовского шума и т. п. В последующие годы марковскую теорию оптимального приема Н. К. Кульман и Ю. Г. Сосулин развивали самостоятельно.

Значительный вклад в совершенствование этой теории в нашей стране был сделан отечественными учеными, работающими в Военно-воздушной академии им. Н. Е. Жуковского. Профессор В. И. Тихонов создал крупную научную школу, члены которой вели исследования, связанные с применением МТОП к разнообразным задачам приема сигналов в системах связи, радиолокации и радионавигации.

В 1964-1974 гг. Н. К. Кульман, В. И. Тихонов и Ю. В. Саютин решали многочисленные задачи синтеза и анализа помехоустойчивости аналоговых систем связи с различными методами модуляции — фазовой, частотной, амплитудной и всевозможными их комбинациями. При этом предполагалось, что передаваемые сообщения представляют собой гауссовский и одновременно марковский случайный процесс, а сигналы принимаются на фоне гауссовского в общем случае коррелированного шума. Профессор В. И. Тихонов рассматривал также помехоустойчивость оптимальной системы разнесенного приема сигналов. Результаты данных исследований нашли отражение в монографиях [19].

Для передачи аналоговых сигналов в системах связи применяются импульсные методы модуляции, такие как амплитудно-импульсная, частотно-импульсная, фазово-импульсная, широтно-импульсная и т. п. На основе МТОП Н. К. Кульман выполнил синтез оптимальных приемников сигналов в таких системах, предположив, что скорость изменения передаваемых сообщений существенно ниже тактовой частоты следования модулируемых импульсов. Эти результаты вошли в монографию [19]. Позже, в начале 70-х годов, профессор М. С. Ярлыков выполнил обстоятельные исследования систем связи с импульсными видами модуляции, результаты которых представлены в его книге [20].

Важным направлением развития МТОП явилось ее применение к комплексным задачам синтеза оптимальных систем, которые реализуются и как оптимальная система синхронизации, и как оптимальный прием дискретных сообщений. Это направление, представленное в монографии [21], развивалось в конце 60-х и начале 80-х гг. в работах профессоров В. И. Тихонова и В. Н. Харисова. В книге И. Н. Амиантова [7] были рассмотрены примеры применения МТОП к задачам синтеза многомерных дискретных систем связи, синтеза многомерных измерителей негауссовских марковских процессов и к задачам совместной фильтрации непрерывных и дискретных параметров.

Изучение теории оптимального приема непрерывных сигналов, основы которой были заложены В. А. Котельниковым, с конца 50-х годов включается в программы подготовки радиоинженеров, для обучения которых издаются соответствующие учебники [22, 23 и др.]

Литература

1. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Изд-во ГЭИ. — 1956.
2. Фомин А. Ф. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений. — М.: Сов. Радио, 1975.
3. Фалькович С. Е. Оценка параметров сигнала. — М.: Сов. Радио, 1970.
4. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. — М.: Сов. Радио, 1978.
5. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. — М.: Сов. Радио, 1960.
6. Быховский М. А. Потенциальная помехоустойчивость разделения двух сигналов с ЧМ // Электросвязь. — 1979. — № 10.
7. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.: Сов. Радио, 1971.
8. Быховский М. А. Потенциальная помехоустойчивость двухканального приема сигналов с частотной модуляцией. — Труды НИИР, № 1, 1979.
9. Быховский М. А. Круги памяти (Очерки истории развития радиосвязи и вещания в XX столетии), Серия изданий «История электросвязи и радиотехники». — М.: Мобильные коммуникации, 2000.
10. Большаков И. А., Репин В. Г. Проблемы нелинейной фильтрации, (ч. I. Случай одного параметра) // Автоматика и телемеханика. — 1961. — № 4.
11. Большаков И. А., Репин В. Г. Вопросы нелинейной фильтрации, (ч. II. Многомерный случай) // Автоматика и телемеханика. — 1964. — № 12.
12. Бакут П. А., Большаков И. А., Герасимов Б. М., Курикша А. А., Репин В. Г., Тартаковский Г. П., Широков В. В. Вопросы статистической теории радиолокации, Под ред. Г. П. Тартаковского, т. I и II. — М.: Сов. Радио, 1963 и 1964 гг.
13. Кантор Л. Я., Дорофеев В. М. Помехоустойчивость приема ЧМ сигналов. — М.: Связь, 1976.
14. Быховский М. А. Синтез и анализ двухканального компенсатора помех для сигналов с ЧМ // Электросвязь. — 1980. — № 10.
15. Middleton D. An Introduction to Statistical Communication Theory, Mс. Graw Hill Book Сотр., 1960.
16. Van Trees H. L. Detection, Estimation and Modulation Theory, New York: John Wiley and Sons. — Part I, 1968; Part II, 1971; Part III, 1971 (Теория обнаружения, оценок и модуляции. — М.: Сов. Радио, ч. 1, 1972; ч. 2, 1975; ч. 3, 1977).
17. Стратонович Р. Л. К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций // Теория вероятностей и ее применение. — 1959. — № 2.
18. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы. — М.: МГУ, 1966.
19. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. — М.: Сов. Радио, 1975.
20. Ярлыков М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. — М.: Сов. Радио, 1980.
21. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — М.: Радио и связь, 1991.
22. Амиантов И. Н. Применение теории решений к задачам обнаружения сигналов и выделения сигналов из шумов. — М.: Изд-во ВВИА им. Жуковского, 1958.
23. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. — М.: Радио и связь, 1972.

Статья опубликована в журнале «Электросвязь: история и современность» № 2, 2005 г., стр. 3.
Перепечатывается с разрешения редакции.