13 век - 16 век

Италия. Здесь появляются первые отчеканенные жетоны – плоские кусочки металла (разной формы) с выбитыми на них числами. Помимо прочих применений ими часто заменяли деньги при промежуточных расчетах, либо соответствующее количество костей абака , например, для запоминания результата (промежуточного) .

Италия («Пизанская республика»). Леонардо Фибоначчи ( Leonardo Pisano Fibonacci , 1170- 1250 г.) В раннем возрасте был увезен отцом-коммерсантом в Алжир, где изучил индийскую (десятичную) систему счёта во всех её формах – египетской, арабской и т.д. и приобрел пожизненную страсть к математике.

Леонардо опубликовал ряд работ по искусству счета, «принеся своими трудами числа на Запад»: Practica Geometriae (1220), Flos (1225), Liber Quadratorum. Книга по коммерческой арифметике ( Di Minor Guisa ), не сохранилась. Наиболее известна «Книга об Абаке» («Liber Abaci», Leonardo Pisano Fibonacci, Pisa, 1202 ).

Испания. «Логическая машина» Рамона Луллуса (Лулия). Луллус публикует знаменитую книгу «Ars Magna» в которой, среди прочего, приводит иллюстрированное описание изобретенного им механического устройства для решения логических задач.

В средневековой Мавританской Испании процветают образование и науки. Благодаря маврам/арабам европейцы заново знакомятся с сочинениями древнегреческих философов.

Первый (в Европе) университет открывается в 961 г. в гор. Кордова, а затем в гор. Саламанка. Выходец из просвещенной аристократической христианской семьи с острова Майорка Рамон Луллус (1263—1316 гг.) мечтает стать проповедником, путешествует по Северной Африке. Увлекается логикой. В 1272 г . на Майорке к нему приходит видение, в котором он видит отражение божественных атрибутов во всей Вселенной, что приводит его к мысли о сведении всех отраслей познания к исходным фундаментальным принципам и определении точки их воссоединения и взаимопроникновения. Он использует логику (включая её механизированные методы, символьные записи и комбинаторные диаграммы) для объединения всех знаний, что делает его предтечей комбинаторики.

Попытка Луллуса обосновать библейские догматы на уровне логики, осуждена Папой Григорием XI в 1376 г. (Луллус был оправдан Ватиканом в XIX в). Позже, его идеи оказали огромное влияние на мировоззрение и работы Г. Лейбница (1646-1716 гг.) в. Германии, в том числе и по механизации вычислений.

Англия - Бавария. Трехзначная логика Уильяма из Окэма ( William of Ockham, 1288-348 гг.).

Уильям (иногда, в русской версии Вильгельм Окамский ) монах-францисканец, математик и философ из Лондона. Изучал в Оксфорде логику Аристотеля и сам преподавал логику и теологию. Он предложил логическую систему, в выражениях которой предлоги могут принимать одно из трех истинных значений. Придерживался консервативных христианских взглядов, но тем не менее подвергался преследованиям и в 1328 г . укрылся в Баварии, в Мюнхене. Там он продолжал философскую деятельность пользуясь дружеским покровительством баварского короля, также отлученного Папой от церкви. В памфлетах против Папы, Уильям доказывал его несоответствие папскому сану, используя свои логические методы.

Его трёхзначная логика приобрела большое значение для математики в 20 в. Идеи У. Окэма способствовали созданию Н.П. Брусенцовым, проф. МГУ им. М. В. Ломоносова, в 1956—1958 гг. единственного в мире троичного компьютера «Сетунь». (см. также в статье музея «Серия ЭВМ СЕТУНЬ»)

Европа. Распространение арабской десятичной нумерации.

Растущая потребность в эффективных расчетах совпадает с культурным влиянием Испании и более тесному общению с Арабским Востоком благодаря Крестовым походам.

Эпоха возрождения в Европе. Вместе с широким распространением азартных игр возникает и быстро развивается теория вероятности.

Изобретение печатного станка Гутенбергом (Gutenberg).

Портрет Луки Пачиоли. Художник Якопо де Барбари. Италия. Около 1510 года.

Итальянский математик, монах Лука Пачиоли (Luca Pacioli, 1445-1517) напечатал две книги: «Сумма знаний по арифметике, геометрии, учение о пропорции и пропорциональном», в которой впервые описываются письменные приемы счета и используются арабские цифры, и «Трактат о счетах и записях» – самую первую книгу по бухалтерскому учету. В ней впервые сформулирован основной принцип бухгалтерии – принцип двойной записи.

В Японии распространяются счеты «Соробан» — несколько видоизмененный китайский «Суань-пан».

Британия. Роберт Рекорд ( Robert Recorde ) публикует англоязычную книгу по арифметике.

Очечный мастер Захарий Янсен из Миддельбурга (Нидерланды) сконструировал микроскоп. Он представлял собой трубку длиной около 46 см и толщиной 5 см.

Россия. Распространение русских (десятичных) счётов.

Хотя в основной счётной части они имели десять костей, а не 2 и 5, как «Суань Пан», их происхождение от последнего (вероятнее всего привезенного в Россию монголами) вряд ли можно оспаривать. Нижние ряды первых счётов также были разделены на две части (для дробных вычислений).