Алгебра для компьютера

Ю. Л. Полунов

Год 1815 отмечен в истории Европы битвой под Ватерлоо, положившей начало закату наполеоновской империи. Но для истории ВТ он примечателен тем, что в этот год в семье знатного лорда родилась Августа Ада Лавлейс, а в семье скромного английского сапожника – Джордж Буль. Они принадлежали к разным классам общества, никогда не встречались друг с другом, но оба стали в следующем веке почти культовыми фигурами, известность которых шагнула далеко за границы их родины.

Сын сапожника, он же математический гений

Джордж был чуть моложе Августы Ады: он родился 2 ноября 1815 года в городе Линкольне, где его отец, Джон Буль (род. ок. 1777 года), держал сапожную мастерскую. Впрочем, сапожному делу, служившему источником пропитания для семьи, в которой было трое детей, он уделял значительно меньше внимания, чем своему главному увлечению – изготовлению оптических приборов. Закончив работу над очередным телескопом, Джон вывешивал в окне своей лавки объявление: "Всякого, кто пожелает с чувством благоговения наблюдать создания Господа нашего, я приглашаю прийти и взглянуть на них через мой телескоп". Отец будущего ученого был добрым, глубоко религиозным и – как мы сказали бы сегодня – общественником. Свято веря в то, что призвание и работа ради хлеба насущного суть разные вещи, он принял активное участие в создании уникальной для своего времени общественной организации – Института Механики, где любой горожанин мог проводить свой досуг, занимаясь любимым делом. Невероятно, но владельцы городских лавок и мастерских под впечатлением агитации Джона Буля начали закрывать их пораньше, чтобы дать возможность своим служащим и рабочим посетить "кружки по интересам" в этом Институте. "Кажется, он мог делать хорошо всё, – писала впоследствии о своем свекре жена Джорджа, – за исключением собственного дела – управляться в мастерской".

Буль-младший обожал отца и с детских лет помогал ему шлифовать линзы и делать другую нехитрую механическую работу. Образование мальчик получил соответственно достатку семьи: окончил местную начальную школу (научившись писать и считать), некоторое время посещал коммерческие курсы. Основы геометрии и тригонометрии он освоил с помощью отца, знавшего в математике лишь то, что было необходимо для расчета линз и другой оптики. К счастью, у общительного Джона было много друзей в Линкольне, и один из них, книготорговец Уильям Брук, обучил мальчика латинской грамматике и позволил пользоваться книжными богатствами своей лавки. Далее Джордж двигался самостоятельно. Книги по истории, географии, религиозные сочинения, классическая и современная художественная литература, поэзия – вот что составляло круг его чтения. У него была почти фотографическая память. "Мой мозг устроен таким образом, – писал он впоследствии, – что любые факты или идеи, о которых я узнавал, запечатлевались в нем подобно хорошо упорядоченной группе рисунков". Продолжая заниматься латынью, мальчик по книгам, которые брал в лавке Брука, изучил древнегреческий, а затем немецкий, французский и итальянский языки. В 14 лет он перевел с древнегреческого "Оду весне" Мелеагра, а отец послал перевод в местную газету, указав возраст переводчика. Публикация первого литературного труда Джорджа вызвала резкую реакцию некоего учителя, который направил в газету гневное письмо, утверждая, что в столь юном возрасте сделать такой грамотный перевод невозможно и редакция занимается очковтирательством. Нет худа без добра: благодаря этому письму жители Линкольна узнали, что среди них живет необычайно талантливый юноша.

Но одним талантом не поможешь отцу прокормить семью, и едва Джорджу исполнилось 16 лет, он начал работать младшим учителем латыни и математики в методистской[1] школе-пансионе для мальчиков в городе Донкастер, графство Йоркшир. Холодными длинными ночами, когда дети засыпали, он занимался самообразованием и думал о будущем. Как вырваться из круга бедности? Какое место он сможет занять в обществе? Путь в армию для него закрыт – для покупки офицерского патента нужны были деньги, учеба в университете стоила немало, а влачить жалкое существование школьного учителя под началом какого-нибудь невежественного и злобного Сквирса[2] – было не по нему. Поэтому Джордж подумывал о том, чтобы стать священнослужителем (Буль был глубоко религиозен) и продолжал совершенствоваться в древних языках, читал классику, изучал патристику (труды отцов церкви).

Через два года он, однако, покинул Донкастер. Это случилось, когда директору школы стало известно, что младший учитель принадлежит к унитарной церкви[3], занимается математикой по воскресеньям и даже в церкви решает математические задачи (грех-то какой!). Пришлось Джорджу искать другое место работы, хотя некоторые ученики очень полюбили его и "молились о его обращении". Впрочем, была еще одна причина ухода юного педагога. Как вспоминал один из его коллег, "она состояла в том, что Буль был полностью поглощен своими собственными мыслями, и в такой степени "отсутствовал", что мальчики начинали плутовать. Он был превосходным учителем, если видел, что ребенок понимает его (у него было два таких ученика)… Но для большинства детей, не проявлявших рвения в учебе и нуждавшихся в непрерывном натаскивании, он был самым плохим учителем из тех, кого я когда-либо встречал. Вместо объяснений он выходил из себя и с раздражением отправлял ученика прочь – а парнишка только и ждал этого, чтобы уйти с урока. Ученики подсовывали ему работы, которые были выполнены другими, или несколько раз показывали ему одно и то же задание, а если они говорили, что у них все выполнено правильно, он охотно верил этому и снова углублялся в свои книги… Во всем остальном его ценили очень высоко, настолько высоко, насколько это возможно".

Работу Джордж нашел в Ливерпуле, в учебном заведении некоего Марро. Однако через 6 месяцев, не выдержав, по собственному признанию, "творившегося там хаоса", перебрался в родной город и основал маленькую школу-пансион. Но она давала слишком скромный доход, а ведь юноша был по сути кормильцем семьи. Поэтому в 1838 г. он с радостью принял предложение занять место директора школы для детей состоятельных фермеров в Ваддингтоне, соседнем с Линкольном городке. Материальное положение Джорджа улучшилось, и он смог перевезти к себе семью, а еще через два года открыл в пригороде Линкольна собственную "академию". Вскоре она приобрела хорошую репутацию, а ее директор и владелец заслужил всеобщее уважение горожан. Днем он учил маленьких мальчиков, а досуг посвящал чтению и… сочинению стихов и поэм, классических по форме, метафизических и религиозных по содержанию, таких, как, например, "Сонет № 3":

When the great Maker, on creation bent
Thee from thy brethren chose and framed by thee
The world to sense revealed, yet left it free,
To those whose intellectual gaze intent
Beyond the veil phenomenal is sent,
Space diverse systems manifold to see
Revealed by thought alone; was it that we,
In whose mysterious spirits thus are blent
Finite of sense and infinite of thought,
Should feel how vast how little us our store –
As you excelling arch with orbs deep fraught
To the light wave that dies along the shore –
Till from our weakness and our strength may rise
One worship unto Him the only wise?

Чтобы читатель мог убедиться в блестящей стихотворной технике Буля, я привожу сонет в оригинале и даю его подстрочник[4], так как любой поэтический перевод, по словам Гете, "подобен поцелую возлюбленной через покрывало", а "переводчик напоминает сводню, которая, расхваливая достоинства прикрытой вуалью красавицы, вызывает непреоборимое желание познакомиться с оригиналом".

Любовь к поэзии была у Буля столь велика, а пером он владел настолько свободно, что иногда даже зарифмовывал частную переписку с друзьями, отнюдь не философского содержания. Разумеется, сочинение стихов не было главным содержанием интеллектуальной жизни молодого педагога. В течение всей своей преподавательской карьеры он не оставлял занятий математикой. Впоследствии Мэри Буль вспоминала слова мужа о том, что он начал читать математические книги лишь потому, что они были дешевле, чем классическая литература (думается, она не поняла шутки мужа). Какие же "математические книги" он читал? Школьные учебники и популярные изложения высоких идей "в плоской, общедоступной форме" раздражали его своей тривиальностью, и он, имея весьма скромные познания в математике, сразу взялся штудировать сочинения высшей сложности, такие, как "Математические начала натуральной философии" Ньютона, "Небесная механика" Лапласа и "Аналитическая механика" Лагранжа. Представьте себе трудности молодого человека, знакомого лишь с началами математики и пытающегося понять утверждения, которые часто приводились без доказательств, предваряясь сакраментальным: "легко видеть, что…" (тем более что книги великих французов он изучал в оригинале).

Свидетельством того, что Джордж не просто пролистывал эти книги, а старался глубоко вникнуть в их содержание, служит его научный очерк "О гении и открытиях сэра Исаака Ньютона" (1835 г.), в которой он сравнивал методологию Ньютона и Лагранжа: "Трудами Лагранжа вопрос о движении возмущенных планет со всеми его сложностями и разнообразием сведен к чисто математической проблеме. Это устраняет физическую сторону задачи; возмущенная и возмущаемая планеты исчезают; идеям времени и силы положен конец; самое элементы орбит уже не принимаются во внимание, и только существуют как переменные величины в математических формулах. В исследованиях Ньютона это удачное преобразование не имеет места… Возмущающие силы анализируются, их влияние рассматривается для различных положений [планеты] – над и под эллиптической плоскостью и при совпадении с нею… Вечные колеса Вселенной вращаются перед нами, и их движения могут быть прослежены посредством изменяющегося разнообразия причин, условий и следствий". По словам историка математической логики, это сравнение свидетельствует о том, что Буль уже тогда "задумывался над возможностью абстрагирования от физических фактов... и переходе к некоторой системе эффективно построенных символов, которые обладали бы известной самостоятельностью и с которыми можно было бы работать по внутренне им присущим законам".

Чтение трудов великих вызывало у Джорджа много вопросов и порождало желание самостоятельно найти на них ответ. Может быть, отсутствие университетского образования стало причиной оригинального и своеобразного математического мышления Буля, и он обратил внимание на то, мимо чего прошли его выдающиеся предшественники. К концу 30-х гг. им уже было написано несколько статей, однако опубликовать их было нелегко, так как для этого надо было принадлежать к какому-нибудь научному обществу, издававшему свои труды или журналы. Но здесь удача улыбнулась Булю: он нашел союзника в лице молодого кембриджского алгебраиста, возглавлявшего вновь организованный Сambridge Mathematical Journal. Этого человека звали Дункан Ф. Грегори (1813-1844), и он принадлежал к знаменитой шотландской семье, которая дала миру Джеймса Грегори (1638-1675), изобретшего рефракционный телескоп и доказавшего сходимость ряда для числа p, и Дэвида Грегори (1659-1708) – математика, оптика, астронома, друга Ньютона.

Не очень надеясь на успех, Буль в 1839 г. послал в кембриджский журнал свою статью "О некоторых теоремах в исчислении переменных". Хотя автор был совершенно неизвестен в математическом мире, оригинальность работы и стиль изложения поразили редактора: он опубликовал ее в следующем году и вступил в дружескую переписку с Булем, которая продолжалась вплоть до безвременной кончины Грегори. Ободренный поддержкой, Джордж в течение нескольких лет публикует в том же журнале статьи по операторным методам анализа, теории дифференциальных уравнений и алгебраических инвариантов. Пожалуй, это самое замечательное достижение молодого Буля: не будь теории инвариантов, развитой впоследствии Артуром Кэли и Джеймсом Сильвестром, возможно, "не состоялась" бы и теория относительности Альберта Эйнштейна. Наконец, в 1844 г. Буль удостаивается самой высокой для английского математика чести: Лондонское королевское общество награждает его золотой медалью за статью "Общий метод анализа". В заключительном абзаце этой работы Буль как бы намечает направление своих будущих исследований: "Положение, обоснование которого больше всего меня занимает, заключается в том, что любой значительный прогресс в высшем анализе немыслим без повышенного внимания к законам комбинации символов. Значение этого положения едва ли можно переоценить, и я только сожалею, что из-за отсутствия книг, а также из-за обстоятельств, неблагоприятных для занятий математикой, я не могу привести совершенное доказательство его справедливости…"

Для выполнения задуманного Буль в середине 40-х гг. начинает усиленно заниматься проблемами логики и создает новое исчисление: вводит определенную символику, операции и законы, определяющие эти операции. Если Лейбниц в свое время пытался арифметизировать логику, то Буль ее алгебраизирует, превращая в математическую науку. В принципе, его идеи лежали в русле попыток английских алгебраистов создать символическую алгебру, т. е. "науку о символах и их комбинациях, конструируемых по их собственным правилам, которая может быть применена к арифметике или к другим наукам посредством интерпретации" (Д. Пикок). Черновые наброски булевого исчисления, заложившего основу современной математической логики, относятся к лету 1846 г.

Один из друзей ученого вспоминал: "Я хорошо помню тот день, когда Буль написал первые страницы своей первой работы по логике. Это произошло во время его визита ко мне в Гейнсборо. Мы спустились на пароходе по Тренту к красивейшим холмам Элкборо. В течение часа мы бродили по ним и любовались прекрасным пейзажем, а затем он пожелал уединиться. Он сел в тень огромного куста и оставался там до тех пор, пока я не побеспокоил его, сказавши, что пора возвращаться. Ночью он прочел мне написанное им и объяснил систему, изложение которой он опубликовал в следующем году".

Публикация, о которой шла речь в предыдущем абзаце, была тоненькой книжкой "Математический анализ логики, являющийся опытом исчисления дедуктивного рассуждения" (The mathematical analysis of logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning). В предисловии автор писал: "Те, кто знаком с настоящим состоянием символической алгебры, отдают себе отчет в том, что обоснованность процессов анализа зависит не от интерпретации используемых символов, а только от законов их комбинирования. Каждая интерпретация, сохраняющая предложенные отношения, равно допустима, и подобный процесс анализа может, таким образом, при одной интерпретации представлять решение вопроса, связанного со свойствами чисел, при другой – решение геометрической задачи и при третьей – решение проблемы динамики или оптики…". Новаторство Буля состояло в ясном осознании абстрактности создаваемого им исчисления, определяемого лишь теми законами, которым подчиняются операции.

Хотя "Математический анализ логики..." был по сути кратким конспектом идей Буля, он привлек внимание не только его кембриджских друзей, но и многих других известных ученых, в том числе Августа де Моргана (1806 –1871). Я уже не раз упоминал о нем как об учителе леди Лавлейс и почитателе ее таланта. Сейчас стоит уделить ему большее внимание, так как де Морган-логик, по словам историка, "подготовил дорогу для Буля" и стал впоследствии горячим приверженцем его идей.

Август де Морган, шотландец по происхождению, родился в Индии, в штате Мадрас. Его дед и отец (оба военные) также родились в Индии, и поэтому Август любил говорить о себе, что он не англичанин, не шотландец, не ирландец, но "неприкрепленный (unattached) британец" (пользуясь термином, которым в Англии определяли человека, являющегося студентом университета, но не занимающегося в определенном колледже). Когда мальчику было семь лет, в Индии вспыхнуло восстание сипаев, и полковник де Морган счел необходимым перевести семью в Англию. Через три года он умер, и миссис де Морган решила остаться с сыном в метрополии. Они обосновались в городишке на юго-западе Англии, где Август поступил в начальную школу. Однако закончить ее мальчику не удалось. Из-за физического недостатка (он был почти слеп на один глаз) Август не участвовал в беготне и возне одноклассников, а увлекался игрой на флейте, с которой не расставался. Это было предметом злых шуток сверстников; в конце концов, мать забрала его из школы, и он получил домашнее образование под руководством оксфордского преподавателя.

Мать Августа была религиозна и мечтала видеть сына священником. Но он решил иначе и в 16 лет поступил в кембриджский колледж Св. Троицы, где под влиянием Джоржда Пикока и Уильяма Уэвелла (выдающегося английского философа, логика, историка науки) увлекся алгеброй и логикой – эти два предмета в основном определили в дальнейшем круг его научных интересов. Получив диплом бакалавра, Август отказался от экзамена на магистерскую степень: в соответствии с Уставом университета он должен был пройти "религиозный тест" – доказать свою приверженность официальной (англиканской) церкви, так как ни диссиденты, ни иудеи к экзамену на соискание магистерской степени не допускались. Это противоречило либеральным взглядам де Моргана. Покинув университет, он перебрался в Лондон, где зарабатывал на жизнь частными уроками. В 1828 г. он становится профессором математики Лондонского университета и пребывает в этой должности до 1866 г. (за исключением периода с 1832 по 1835 гг.).

Выдающийся ученый, один из создателей символической логики (автор так называемой "теории силлогизмов") и предшественник Буля, замечательный педагог, остроумнейший и язвительный полемист, страстный библиофил и историк математики, публицист, ведший постоянную рубрику в журнале Athenaeum, Август де Морган в течение почти полувека оставался в центре математической жизни страны. Он многие годы выполнял обязанности секретаря Астрономического общества (одним из основателей которого был Чарльз Бэббидж), а с 1866 г. являлся президентом Лондонского математического общество, созданного по его инициативе.

Конец жизни этого яркого человека был омрачен душевной болезнью, вызванной смертью детей – дочери и сына[5] Джорджа, талантливого математика, "младшего Бернулли", как называл его отец (имея в виду знаменитую математическую династию). "Де Моргана, – пишет З. А. Кузичева, – часто упрекали впоследствии в том, что его блестящие и остроумные идеи терялись в его изложении, перегруженном деталями, многочисленными и новыми для читателя обозначениями… Тем не менее, глубина и точность наблюдений, многообразие идей, содержащихся в его произведениях, заставляют думать, что наследие де Моргана изучено далеко не полностью". Впрочем, это замечание нельзя отнести к последней, изданной посмертно в 1872 г. книги де Моргана "Сумка парадоксов" (A Budget of paradoxes) – остроумнейшему анализу трудов квадратуристов, антикоперниканцев, астрологов, алхимиков и т.д. Остается сожалеть, что эта книга до сих пор не переведена на русский язык.

Де Морган восторженно приветствовал попытку Буля применить алгебраические методы для решения задач логики. "Я полагаю, – писал он, – что именно м-р Буль установил истинную связь алгебры и логики". И далее: "Система логики Буля – одно из многих свидетельств объединенных усилий гениальности и терпения…. Операции над алгебраическими символами, изобретенные в качестве средства числовых вычислений, достаточны для выражения любых движений мысли и предоставляют собой грамматику и словарь законченной логической системы… Когда Гоббс во времена Республики (Commonwealth) опубликовал книгу "Вычисления или Логика", он имел смутное представление о некоторых вопросах, которые получили освещение в дни м-ра Буля. Однако единство форм мышления во всех разнообразных проявлениях разума не было достигнуто и стало предметом, вызвавшим всеобщий интерес. Имя м-ра Буля всегда будут помнить в связи с тем, что им сделаны наиболее значительные шаги в этом направлении".

Де Морган и кембриджские друзья Буля настоятельно рекомендовали ему получить университетское образование, но необходимость материально поддерживать семью заставляла его оставаться в школе. Лишь в 1849 г. он смог изменить свой статус, получив, несмотря на отсутствие университетского диплома, кафедру профессора математики в Королевском колледже, открытом в ирландском городе Корке. Хотя работа со студентами и занимала много времени, нагрузка была здесь меньше, чем в школе, и он мог позволить себе в качестве "разрядки" совершать загородные пешеходные прогулки.

Буль полюбил бродить в окрестностях Корка, знакомиться и беседовать с местными крестьянами. Он рассказывал, как однажды, попав под проливной дождь, попросил убежища в бедном домишке, стоявшем на краю торфяного болота. Заметив, что все обитатели дома ходят босиком, он снял башмаки и чулки и поместил их сушиться у огня. "Это обнажение (denuding) ног, – вспоминал Буль, – кажется, способствовало установлению дружеских отношений и вызвало общую симпатию ко мне. Дети, которые раньше робели перед незнакомцем, присоединились к нашему кругу, за ними последовала собака; маленький поросенок не спеша приблизился к нам и просунул свой пятачок между моих ног поближе к огню (получив за это выговор от хозяйки), и, наконец, курицы и другие домашние птицы своим присутствием завершили круг участников этого светского приема".

Не надо искать в этих словах насмешки или презрительного отношения к "сирым мира сего" – поднявшись на несколько ступенек вверх по социальной лестнице, он остался чужд социальным предрассудкам, столь распространенным тогда в Великобритании. Приведу в качестве подтверждения рассказ одной пожилой леди, переданный младшей дочерью ученого: "В один июньский день 1856 г. она (леди – Ю. П.) отправилась в трущобный переулок позади колледжа, чтобы нанять трубочиста для прочистки дымохода в ее доме. В переулке она увидела идущего впереди себя отца, который стучался во все подряд двери домов. Когда она проходила мимо него, она заметила, как он пылко тряс руки босоного оборванца, говоря: "Я пришел, чтобы сказать тебе, дорогой друг: "У меня родилось дитя, и оно так прекрасно!"".

Дитя, о котором восторженно говорил Буль, была его дочерью от брака с Мэри Эверест. С материнской стороны Мэри приходилась племянницей профессору греческого языка в Королевском колледже, а с отцовской – племянницей вице-президенту колледжа сэру Джорджу Эвересту, именем которого названа Джомолунга – высочайшая вершина мира в Гималаях. Впервые они встретились в 1850 г., когда Мэри приехала погостить в Корк. Джорджу было тогда 35, а Мэри – 18. Переписка между ними переросла во взаимную привязанность, и через пять лет, когда умер отец Мэри и она осталась сиротой, Буль предложил ей руку и сердце. Он был очень предан жене, а она отвечала ему тем же. Энергичная, волевая и честолюбивая, Мэри полагала, что ее главное предназначение в жизни – воспитание детей и создание условий для научного творчества великого математика, каковым она (справедливо) считала своего мужа. Правда, забота о нем иногда принимала деспотические формы. Однажды, увидев, что Джордж сочиняет стихи, она бросила листок с набросками сонета в огонь, сказав, что ему не пристало таким образом использовать свое драгоценное время. С тех пор Буль не писал стихи, полагая, что окончательное решение в этом вопросе должно принадлежать жене, поскольку ей виднее…

В Корке Буль продолжал совершенствовать и развивать предложенное им исчисление. Результаты он изложил в своей главной книге "Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятности" (An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probability), опубликованной в 1854 г. в Лондоне. Как следует из слов автора, он значительно расширил рамки своей первой книги: "Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы изучить те законы операций ума, посредством которых осуществляются рассуждения; в том, чтобы дать выражение этих законов в символическом языке логического исчисления, и на этом основании утвердить логику как науку и ее методы; в том, чтобы сделать эти методы базисом еще более общего метода в целях приложения его к математической теории вероятностей; и, наконец, в том, чтобы проложить путь к выдвижению некоторых вероятностных указаний, касающихся природы и структуры человеческого мышления".

Не вдаваясь в подробности булевого исчисления (это предмет истории логики, а не ВТ), отмечу важное для нас обстоятельство. Рассматривая введенные им термины "логическая функция" и "логическое уравнение", Буль пишет о возможности "…вместо определения меры согласованности символов логики с числовыми символами непосредственно сопоставлять логическим символам количественные символы, принимающие лишь значения "0" и "1" (курсив мой – Ю. П.)". И далее: "Поскольку процессы формального рассуждения зависят от законов, которым подчинены символы, а не от природы их интерпретации, мы позволим себе трактовать символы x, y, ... так, как если бы они были количественными символами вышеописанного рода. Мы можем в действительности пренебречь логической интерпретацией символов данного уравнения, считать их количественными символами, принимающими лишь значения "0" и "1", выполнить над ними все обычные приемы решения, а в конце возвратить им их логическую интерпретацию"

В дальнейшем эти и другие идеи Буля были развиты "математико-логическим интернационалом" – англичанами Уильямом Стенли Джевонсом (1835-1882) и Джоном Венном (1834-1923), русским Павлом Платоновичем Порецким (1846-1907), американцем Чарльзом Сандерсом Пирсом (1839-1914), немцами Эрнестом Шрёдером[6] (1841-1902) и Готтлобом Фридрихом Людвигом Фреге (1849-1925). Последний предложил так называемое исчисление высказываний – раздел математической логики, занимающийся анализом высказываний, которые могут быть либо истинными, либо ложными, и булевыми функциями, принимающими значения "0" или "1" (дизъюнкция, конъюнкция, импликация и т.д.). Именно это исчисление, является, как правило, предметом изучения при подготовке специалистов по ВТ.

После 1854 г. Буль почти не публиковал трудов по математической логике (хотя продолжал работать в этом направлении и ряд его статей и набросков сохранился в рукописях). Создается впечатление, что большую часть своего творческого потенциала в последнее десятилетие жизни он использовал как педагог. Для своих студентов он в эти годы написал и издал два учебника: по дифференциальным уравнениям и по методу конечных разностей. Впрочем, как писал ученик Буля, "...он всегда стремился к тому, чтобы студенты почерпнули новое не из книг, а из его лекций. Их содержание редко можно было найти в обычных учебниках. Он часто выражал свою неприязнь к зубрежке и натаскиванию, которые, как он говорил, пригодны для того, чтобы добиться от студента правильных ответов, но не сделать из него математика".

А вот воспоминания других студентов Буля.

"Секрет его успеха, я думаю, состоял в том, что он, кажется, никогда не повторял или воспроизводил то, что однажды изучил сам, и всегда стремился к тому, чтобы создавалось впечатление, что он получает результат во время лекции, и что студенты участвуют в этом вместе с ним, и вместе с ним разделяют честь открытия".

"Мы никогда не чувствовали, что находимся в присутствии человека, являющегося знатоком математики – скорее в присутствии человека, который, как и мы, является учеником, постигающим математические истины. Он опускался до уровня наших знаний, и мы двигались дальше одновременно с ним. Хотя мы знали, что он излагает известные ему идеи, казалось, что он не использует заранее подготовленный и выверенный набор фраз или задач. Лекция фактически читалась так, что создавалось впечатление, что именно в этот момент его посещают некоторые оригинальные идеи. Иногда, развивая их, он, казалось, вообще забывал о нашем присутствии...".

"Он с большой тщательностью готовил большой список вопросов и задач, начиная с азов и кончая высшими разделами математики, которые время от времени печатал и раздавал студентам. Он любил повторять, что пока эти примеры не решены, нельзя говорить о большом прогрессе в изучении предмета, и то, что было усвоено на лекциях, вскоре будет забыто".

"Любителям алгебраического анализа доставляло истинное удовольствие наблюдать за тем, как некоторые основополагающие математические принципы становились понятными после того, как он исписывал одну доску за другой своими формулами. Каждый раз, когда он при этом доходил до пункта, важного для получения конечного результата, его лицо озарялось радостной улыбкой удовлетворения, и когда он с надеждой задавал аудитории вопрос: "Можете ли вы дальше продолжить самостоятельно?" – то обычно получал положительный ответ. Но если слышал: "Мы не поняли этот или тот пункт", – никогда не раздражался, а спокойно объяснял снова и снова, используя другие средства или рисунки, или прибегая к помощи тех, которые уже поняли проблему...".

О том, как студенты уважали и любили своего профессора, свидетельствует такой эпизод. Однажды он пришел в аудиторию задолго до начала лекции, и, повернувшись лицом к доске, углубился в размышления. Аудитория постепенно заполнялась студентами, которые вели себя очень тихо, чтобы не помешать профессору. Время шло, а Буль продолжал стоять спиной к студентам. Лекционный час истек, и студенты также тихо, как входили и рассаживались, покинули аудиторию. Когда Буль пришел домой, он сказал жене: "Моя дорогая, сегодня произошло экстраординарное событие – никто из моих студентов не пришел на лекцию".

Добросовестность Буля стала причиной его смерти: в проливной дождь он прошел две мили, отделявшие его дом от колледжа, и хотя промок до нитки, не стал отменять лекцию, и в результате заболел пневмонией. Член лондонского Королевского общества, почетный доктор Оксфордского и Дублинского университетов Джордж Буль умер 8 декабря 1864 г. на 50-м году жизни. Лучшей эпитафией для него были бы слова великого логика и философа Бертрана Рассела: "Чистая математика была открыта Булем в работе, которую он назвал "Законы мышления".

Мэри пережила мужа на 52 года. После его смерти она написала несколько сочинений, в которых пропагандировала идеи мужа. У них было пять дочерей: третья, Алиса (1860-1940) была талантливым математиком, почетным доктором Гронингенского университета; четвертая, Люси, стала первой в Британии женщиной – профессором химии; младшая, Этель Лилиан, вышла замуж за эмигранта из Польши Уилфрида Войнича, и прославилась как автор романа "Овод".

Творчество Буля оказало громадное влияние на развитие математики и логики XIX и XX веков. Но его имя осталось бы известным лишь достаточно узкому кругу специалистов, если бы не Клод Шеннон: еще совсем молодым он в процессе подготовки своей магистерской диссертации обнаружил, что сугубо теоретические результаты, полученные Булем, имеют огромное прикладное значение.

Величайший гуру информационных технологий

В статье, посвященной великому американскому ученому, С. Серый пишет: "Осенним днем 1989 г. корреспондент журнала "Scientific American" вошел в старинный дом с видом на озеро к северу от Бостона. Но встретивший его хозяин, 73-летний стройный старик с пышной седой гривой и озорной улыбкой, совсем не хотел вспоминать "дела давно минувших дней" и обсуждать свои научные открытия 30-50–летней давности. Быть может, гость лучше посмотрит его игрушки? Не дожидаясь ответа и не слушая увещеваний жены Бетти, хозяин увлек изумленного гостя в соседнюю комнату, где с гордостью 10-летнего мальчишки продемонстрировал свои сокровища: семь шахматных машин, цирковой шест с пружиной и бензиновым двигателем, складной нож с сотней лезвий, двухместный одноколесный велосипед, жонглирующий манекен, а также компьютер, вычислявший в римской системе счисления. И не беда, что многие из этих творений хозяина давно сломаны и порядком запылены, – он был счастлив".

Этим стариком был Клод Элвуд Шеннон, ставший величайшим гуру века информационных технологий, но так и оставшийся американским мальчишкой[7]. Его биография скупа на внешние события и может уместиться в нескольких строчках. Он родился в Петоски, шт. Мичиган, но вырос в другом городке штата – Гэйлорде, где его отец служил помощником судьи, а мать преподавала в школе иностранные языки; в детстве увлекался радиолюбительством и решением головоломок и поэтому, поступив в Мичиганский университет, специализировался одновременно по электротехнике и математике; затем продолжил учебу в Массачусетском технологическом институте[8] (MIT), где в 1938 г. защитил магистерскую диссертацию по электротехнике, а в 1940 г. – докторскую по математике; после непродолжительной работы в принстонском Институте перспективных исследований (Institute for Advanced Study)[9] перешел в 1941 г. в "Белловские телефонные лаборатории"[10] (Bell Telephone Laboratories, или сокращенно Bell Labs), через 15 лет занял должность профессора в MIT, откуда в 1978 г. вышел на пенсию.

Примерно за 20 лет творческой деятельности Шеннон написал около 130 работ, и каждая отмечена печатью его неповторимого гения. Всемирную славу ученому принесла опубликованная в 1948 г. "Математическая теория связи" (Mathematical Theory of Communication), написанная в соавторстве с математиком Уорренрм Уивером и ставшая подлинной Библией "цифрового мира". В ней и в ряде следующих работ были обобщены результаты исследований в области коммуникационных систем, которые Шеннон выполнил в военные годы. Их общая цель заключалась в изыскании способов наилучшей передачи сообщений (информации) по телефонным или телеграфным каналам связи, находящихся под воздействием помех (электрических шумов). Шеннон сделал революционное открытие: он показал, что для этого необходимо предварительно преобразовать передаваемый аналоговый сигнал в цифровой код. Чтобы дать строгое математическое обоснование своей идее, Шеннон принял за единицу информации бит, воспользовавшись термином, предложенным его коллегой по Bell Labs Джоном Таки, и определил количество информации через энтропию – величину, которая применяется в термодинамике для характеристики степени разупорядоченности систем. Это позволило ему сформулировать фундаментальную теорему о пропускной способности зашумленного канала связи, характеризуемого пределом скорости передачи информации, превышение которого неизбежно приводит к ошибкам. Теорема гласит, что к этому пределу можно приблизиться сколь угодно близко со сколь угодно малой вероятностью ошибки, если соответствующим образом закодировать передаваемую информацию.

Много лет спустя один из коллег ученого так писал о значении его работ в области теории связи: "Эйнштейн показал нам, что в каждом атоме заключена энергия, а также то, что с этой энергией можно сделать, как ее можно извлечь. Но имеется предел: вы не можете выйти за границы соотношения Е=МС². Шеннон проделал нечто подобное в теории передачи сообщений. Его формула показывает, как можно передавать, когда у вас есть определенная мощность сигнала и полоса пропускания. Он превратил передачу сообщений в науку, объяснив нам, что можно сделать, а чего нельзя".

Конечно, в 40-50-х гг., когда была распространена преимущественно аналоговая ламповая техника, идеи Шеннона редко находили свое воплощение. Но в наше время они "работают" везде, где хранится, обрабатывается и передается информация, и без них не было бы спутниковых коммуникаций, сотовых телефонов, электронной почты, компакт-дисков, цифрового телевидения и т.д. "Мы не замечаем теорему Шеннона, как не замечаем воздух", – пишет С. Серый.

И еще. Наш великий физик П. Л. Капица любил говорить, что хорошо поставленный эксперимент всегда лучшее, чем теория: последняя устаревает, а результаты эксперимента – никогда. "Математическая теория связи" не устарела и по сию пору; ее терминология и основные конструкции остаются (и, думается, останутся на долгие годы) неизменным стандартом.

Очень редко фундаментальные научные открытия не имеют предыстории и связываются с именем только одного автора (вспомним хотя бы приоритетные баталии Ньютона и Лейбница вокруг дифференциального исчисления). Но никто не осмелится лишить Клода Шеннона титула "отец теории информации".

Впрочем, только ли теории информации? Чем бы ни занимался Шеннон, к полученным им результатам почти всегда применимо определение "пионерский". В 1949 г. он публикует статью "Теория связи в секретных системах" (Communication Theory of Secrecy Systems) – опять-таки обобщение работ на "оборонку" в Bell Labs – и с этого времени криптология из своего рода искусства превращается в строгую математическую науку; заинтересовавшись в 50-е гг. проблемами искусственного интеллекта, создает электромеханическую, дистанционно управляемую мышку Тесей (названную так в честь античного героя), которая была способна самообучаться и находить выход из лабиринта; тогда же придумывает шахматный компьютер, коды с обнаружением и коррекцией ошибок, способы построения надежных схем из ненадежных реле и многое, многое другое.

Этот "научный поток" каким-то труднообъяснимым причинам прервался после того, как Шеннон стал профессором MIТ. Здесь он все оставшееся после преподавательской работы время посвящал своей давней и экзотичной страсти: построил несколько жонглирующих машин и даже создал "общую теорию жонглирования" (еще во время работы в Bell Labs он любил разъезжать по коридорам на одноколесном велосипеде, жонглируя при этом мячиками). "Его постоянно и бесконечно притягивала эта завораживающая игра из непрекращающейся ловли и подбрасывания падающих предметов, формирующих в воздухе причудливые динамические фигуры. Вполне возможно, что суть этого увлечения и истинный смысл "теории жонглирования" Шеннона человечеству еще только предстоит постичь в будущем", – писал журналист. Выйдя на пенсию, ученый продолжал заниматься аналогичными эксцентричными проектами, писал стихи, разрабатывал модели игры на бирже... Объясняя мотивацию своей научной и околонаучной деятельности, Шеннон говорил: "Я всегда следовал своим интересам, не думая ни о том, во что они мне обойдутся, ни об их ценности для мира. Я потратил уйму времени на совершенно бесполезные вещи ... Мне просто было интересно, как эти вещи устроены".

Он умер 24 февраля 2001 г. от болезни Альцгеймера, не дожив двух месяцев до своего 85-летия. Кто-то говорил, что Шеннон в информатике – то же, что Эйнштейн в физике и Луи Армстронг в джазе. Но мне он напоминает молодого Моцарта – веселого, беззаботного и бесконечно талантливого.

Даже если бы Шеннон написал только одну работу – "Символический анализ релейных и переключательных схем", он бы навсегда оставил свое имя в истории науки и техники. Собственно, именно эта статья, основанная на его магистерской диссертации, объясняет наш интерес к "самому неизвестному из великих математиков". В ней впервые были изложены методы анализа и синтеза релейно-контактных схем с помощью аппарата булевой алгебры. Излишне говорить, какое место эти методы занимают в инструментарии разработчиков средств ВТ. Но почему именно он, 22-летний математик и электрик, решил применить столь абстрактный математический аппарат для решения сугубо технических задач? "Просто случилось так, что никто другой не был знаком с обеими этими областями одновременно", – объяснял Шеннон.

Справедливости ради необходимо заметить, что о возможности аналогичного использования булевой алгебры упоминал в 1910 г. физик Пауль Эренфест, а вслед за Шенноном аналогичные результаты несколько позднее получили Акира Накаджима (1908-1970) и Гото Мочинори (1905-1992), а также советский ученый В. И. Шестаков. С гордостью можно отметить, что советская школа анализа и синтеза релейно-контактных, а позднее – функциональных схем, созданная трудами М. А. Гаврилова (1903-1979), О. Б. Лупанова, С. В. Яблонского и их учеников, была "впереди планеты всей". Так, Дж. Пил в книге "Наука на службе человеку" писал, что американские математики нескольких крупных корпораций в течение пяти лет трудились над аналогичными проблемами, израсходовав на эти цели 200 тыс. долларов, а в итоге получили результаты, ранее опубликованные в советских научных журналах.

Глава из книги Ю. Л. Полунова "От абака до компьютера: судьбы людей и машин". М., издательство "Русская редакция", 2004 г. Перепечатывается с разрешения редакции.

Примечания

1. Методисты – религиозная секта, член которой строго придерживались всех установлений и обрядов официальной (англиканской) церкви.

2. Персонаж романа Ч. Диккенса «Жизнь и приключения Николаса Никльби».

3. Унитарная церковь отрицала триединство Божества и подчеркивала единоличие Бога.

4. «Когда великий Творец, склонившись над своим созданием, // Избрал тебя среди твоих собратьев и облек, // явив миру, в неповторимую форму, но оставив доступным // для тех, чей вдумчивый пристальный взгляд стремится // проникнуть за занавесу бытия, // чтобы узреть всю многоликость мироздания, // подвластного одной лишь мысли, возможно ли, // чтобы мы, в чьей загадочной душе соединены // конечность чувств и бесконечность мысли, // почувствовали, как огромно и как мало то, чем мы владеем, // когда, преисполненные опасностями, проносимся по неповторимой дуге вместе с небесными светилами // к волнам света, умирающим на берегу, // пока из нашей слабости и нашей силы не возникнет вера // в Него, единственно мудрого?»

5. Еще одни сын ученого Уильям Френд де Морган (1839-1917) получил довольно широкую известность как писатель и драматический артист.

6. Термины «математическая логика» и «алгебра логики» были введены Шрёдером и Пирсом соответственно. Сам Буль использовал, как мы видели, выражения «математический анализ логики» и «математическая теория логики».

7. Английская пословица гласит: «Мужчины — те же мальчишки, только игрушки у них другие». Как тут не вспомнить сокровища другого бессмертного мальчугана — Тома Сойера: алебастровые шарики, осколок синей бутылки, пару головастиков, оловянного солдатика, стеклянную пробку от графина и пр.

8. Находится в Кембридже, шт. Массачусетс. Основанный в 1865 г., институт стал в дальнейшем одним из крупнейших и престижнейших высших учебных заведений США, в котором учились и (или) работали многие выдающиеся ученые в области кибернетики, информатики и ВТ.

9. Это уникальное научное учреждение было основано в 1930 г. американским филантропом Луисом Бамбергером с тем, чтобы крупнейшие мыслители века, освобожденные от житейских забот и каких-либо формальных обязанностей, могли в тиши небольшого городка заниматься научным творчеством.

10. Научно-исследовательский центр компании American Telephone and Telegraph Company (АТ&Т).