Все ли задачи можно решать математическим моделированием?

А. Д. Смирнов

Несмотря на широкое применение математических моделей в самых различных областях науки и техники, встречаются такие процессы, смоделировать которые, оказывается, не менее трудно, чем исследовать их в натуре.

Ведь сам принцип моделирования основан на том, что в основу модели кладется тот процесс из семейства явлений, описываемых одинаковыми уравнениями, который можно легко воспроизвести в натуре и в котором легко выполнить необходимые измерения.

Если в семействе нет такого явления, то и метод моделирования не применим: модель сделать столь же трудно, как и натуральную установку.

Это — первое ограничение метода математического моделирования.

Второе ограничение — большие относительные погрешности получаемых решений. Все получаемые в процессе моделирования решения являются приближенными. Разница между точным значением какой-либо величины и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью. Сама по себе абсолютная погрешность мало что дает для характеристики точности получаемых величин. Например, известно, что расстояние l измерено с погрешностью не более чем 1 метр. Если l — это расстояние от Москвы до Ленинграда, то, очевидно, что измерение достаточно точное, а если l — это рост человека, то измерение сделано очень грубо.

Отношение абсолютной погрешности в определении какой-либо величины к самой величине называется относительной погрешностью. Относительную погрешность выражают часто в процентах.

Электрические модели состоят из радиодеталей. Если вы посмотрите на сопротивление или конденсатор, то увидите там цифры, например, 10 кОм?5%. Это значит, что величина сопротивления 10 килоом, но возможна относительная погрешность до 5%, т. е. в худшем случае может быть 9500 Ом или 10 500 Ом. Путем тщательного подбора радиодеталей для моделей удается уменьшить относительные погрешности их до 1%. В модели имеются сотни отдельных элементов. Иногда погрешность одного компенсирует погрешность другого, а иногда, наоборот, увеличивает. В среднем решение на электромодели получается с погрешностью в несколько процентов. Не для всяких расчетов такая погрешность допустима.

Там, где нужно быстро произвести качественный анализ процесса или получить ответ с точностью до нескольких процентов, модели наиболее удобны. В других случаях, как, например, при расчете траекторий электронов, задача может исследоваться и методом моделирования в электролитической ванне и численным расчетом на цифровых машинах. А вот, например, допустимая погрешность в вычислении орбит планет и комет должна быть в миллиарды раз меньше той, которую могут обеспечить модели.

Очевидно, что для таких точных расчетов модели не применимы. Как же быть в таких случаях?

Приходится вести вычисления в цифровой форме, оперируя с многоразрядными числами. Чтобы вычисления велись быстро, нужно эти расчеты также механизировать.

Задача механизации расчетов в цифровой форме решена в наше время применением быстродействующих электронных цифровых машин.

Увеличение точности вычислений в цифровых машинах не представляет принципиальных трудностей. Машина, оперирующая с 18-разрядными числами, будет не более чем в два раза больше и дороже машины, оперирующей с 9-разрядными числами, причем часть устройств машины, например так называемое устройство управления, остается почти без изменения.

В научно-исследовательских институтах, вычислительных центрах, конструкторских бюро работают советские быстродействующие машины типов БЭСМ, “Стрела”, “Урал”, М-2, М-3 и др., заменяя труд многих тысяч вычислителей и проводя за несколько часов такие расчеты, на которые коллективу опытных вычислителей с арифмометрами потребовались бы месяцы и годы непрерывной работы.

О том, как устроены эти машины, и будет рассказано во втором разделе этой брошюры.

Глава из книги “Современные математические машины”, М., 1959 г., стр. 40.
Перепечатывается с разрешения автора.