Трехзначная логика, нечеткие множества и теория вероятностей

Брусенцов Н. П., Деркач А. Ю.

Трехзначная логика [1] восполняет существеннейший пробел в общепринятой двухзначной формальной логике – ее недиалектичность, неспособность адекватно отобразить непостоянный, непрерывно обновляющийся характер бытия. Принцип двухзначности (закон исключенного третьего) обуславливает бескомпромиссную дискретность отображения, не оставляя места неопределенности, нечеткости, модальным и вероятностным оценкам: "да-да, нет-нет, а что сверх того, то от лукавого". Но ведь "не-полный" не значит "пустой" и "не-пустой" не значит "полный", потому что существует третье – "не пустое и не полное".

Это промежуточное незавершенное третье Аристотель называет привходящим [2, "Метафизика", 1025а14], полагая его уделом диалектики – "искусства ставить наводящие вопросы" и "испытывания при помощи умозаключений" [2, "О софистических опровержениях", 172а17]. По-видимому, мнение Аристотеля, что "о привходящем нет доказывающего знания, так как заключение о нем нельзя доказать с необходимостью, поскольку привходящее может не быть присущим" [2, "Вторая аналитика", 75а18], последующими логиками было воспринято со свойственной им категоричностью: они устранили привходящее вместе с диалектикой из своей непогрешимой науки и приняли закон, исключающий какое бы то ни было третье. Правомерность такой перестройки обосновывают ссылками на аристотелевы же трактаты, напрочь игнорируя занимающие в них едва ли не главное место рассуждения о привходящем. Наука о методе, в которой Аристотель усматривал начало всех наук, выродилась в практически бесполезную, несовместимую со здравым смыслом и с учением самого Аристотеля схоластику.

Такая логика непригодна для решения реальных проблем, неприемлема в качестве основания наук и даже не может обеспечить развитие самой себя. Показательна безуспешная попытка "логистического" обоснования математики и предпочтения теоретико–множественной аксиоматики, в частности, в теории вероятностей [3, 4], которая, как и последующие теории нечетких множеств и логик [5], должна быть развитием учения о привходящем, непосредственным и неотъемлемым продолжением диалектической логики. В свое время на это указывал Дж. Буль [6], которого, как и Аристотеля, не захотели понять. Более того, на протяжении ста с лишним лет, как раз в эпоху гносеологического кризиса оснований остается "незамеченным" построенное П. С. Порецким [7] исчерпывающее обоснование теории вероятностей средствами математической логики.

Концепцию Порецкого, воспользовавшись современной терминологией, можно охарактеризовать вкратце так [8].

Введем n независимых булевых переменных x, y, z, … (по Аристотелю – "первичных терминов"), интерпретируемых как обозначения "простых" дискретных качеств, составляющих основу рассматриваемого "мира речи" (универсума). В n-терминном "мире речи" однозначно (четко) определимы 2ⁿ элементарных конъюнкций, идентифицирующих атрибуты индивидных классов, а проще – индивидные классы, еще проще – индивидные вещи, одним словом – индивиды. Неиндивидные (нечеткие) атрибуты вещей – это дизъюнкции индивидных конъюнкций, т. е. СДНФ-выражения булевой алгебры. Общее число различных атрибутов и соответственно классов в n -терминном "мире речи" 2^2**n.

Булева алгебра классов позволяет, фиксируя значение атрибута класса, определить в виде уравнения F(x, y, z, …) = 1 "мир задачи", в котором термины x, y, z, … взаимосвязаны условием F. Решением уравнения относительно того или иного термина можно выявить зависимость этого термина от прочих терминов в случаях, когда она носит необходимый характер. Но в общем случае искомая зависимость неоднозначна, привходяща, и охарактеризовать ее можно лишь вероятностью того, что предполагаемая связь имеет место.

Переход от качественной характеристики взаимосвязи, выраженной булевым уравнением, к количественной, вероятностной характеристике статуса исследуемых классов, интерпретируемых теперь как "события", Порецкий вслед за Булем называет пробабилизацией. Совокупность членов СДНФ-выражения e(x, y, z, …), фиксированного уравнением e(x, y, z, …) = 1, с теоретико-вероятностной точки зрения представляет собой полную группу событий (случаев, шансов) – они равновероятны, несоисключимы и попарно несовместимы. Общее число таких событий-индивидов в "мире речи" – 2ⁿ.

Абсолютная вероятность p(e) события e, представленного СДНФ-выражением, в котором содержится N_e индивидных членов, равна

p(e) = N_e/2ⁿ

Относительная (условная) вероятность p(x|e) события x при наступившем e равна отношению числа N_xe тех индивидов в выражении e, которые содержат термин x неинвертированным, к общему числу индивидов в e:

p(x|e) = N_xe/N_e

Абсолютная вероятность p(xe) совпадения (конъюнкции) событий x и e будет теперь:

p(xe) = Nxe/2ⁿ = p(x|e)Ne/2ⁿ = p(x|e)p(e)

Абсолютная вероятность p(x v e) дизъюнкции событий x, e аналогично определяется как

p(x v e) = (N_x+N_e-N_xe)/2ⁿ = p(x)+p(e)-p(xe)

В свете такого логического истолкования понятий теории вероятностей вполне очевидным становится и смысл нечетких множеств Заде. Произвольное булево выражение e(x, y, z, …) преобразуется (пробабилизуется) в форму нечеткого множества Заде вычислением относительных вероятностей всех его терминов. Например, выражению материальной импликации x' v y, которое в СДНФ имеет вид xy v x'y v x'y', соответствует p(x|e) = 1/3, p(y|e) = 2/3 и нечеткое множество {1/3x, 2/3y}.

В n-терминном "мире речи" четкие множества соответствуют 2ⁿ индивидным (n-арным элементарным) конъюнкциям, в которых нет привходящих (умалчиваемых) терминов. События, представленные в такой конъюнкции неинвертированными терминами, достоверны, необходимо принадлежат описываемой конъюнкцией совокупности, вероятность их равна 1, события же представленные инверсиями терминов, невозможны в рассматриваемой совокупности, антипринадлежат ей, характеризуются нулевой вероятностью. За исключением индивидных конъюнкций, все прочие булевы выражения пробабилизуются в нечеткие совокупности терминов, содержащие, наряду с достоверными и невозможными, привходящие качества, присущность которых рассматриваемому объекту не необходима и не невозможна, а может быть только дробным значением вероятности: 0<p<1.

Литература

1. Брусенцов Н. П. Трехзначная диалектическая логика. – В этом сборнике.
2. Аристотель. Сочинения в четырех томах. – М.: "Мысль", т. 1 – 1975, т. 2 – 1978.
3. Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Заметки Харьковского математического общества. – Харьков, 1917, с. 209-274.
4. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: "Наука", 1974.
5. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Fuzzy sets and systems, 1965. n. 8, pp. 338-353.
6. Boole G. An investigation of the laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. – London, 1854.
7. Порецкий П. С. Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики. – Казань, 1887.
8. Брусенцов Н. П., Деркач А. Ю. Логическая модель теории вероятностей и нечетких множеств Заде. // Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях. Вторая международная конференция, 28-30 ноября 2000 г. – Минск. Доклады, т. 1, с. 41-44.

Заметки о трехзначной логике
Доложено на Ломоносовских чтениях 2001 г. на факультете ВМиК МГУ.

Опубликовано в: Программные системы и инструменты: Тематический сборник № 2 // Под ред. Л. Н. Королева. – М. Издательский отдел ВМиК МГУ, 2001, с. 88-91.