Парадоксы логики, здравый смысл и диалектический постулат Гераклита-Аристотеля

Н. П. Брусенцов

На протяжении без малого ста лет предпринимаются настойчивые попытки преодолеть парадоксы импликации – характеристической функции лежащего в основании логики отношения следования. Неадекватность содержательному следованию ее "классической" двухзначной разновидности – материальной импликации – обусловила появление строгой, сильной, казуальной, релевантной, коннексивной и ряда трехзначных импликаций. Но проблема так и не решена, а обилие "результатов" свидетельствует о ее запутанности [1, с. 98].

В силлогистике отношение следования представлено общеутвердительной посылкой: "Всякое x есть y", сущность которой Аристотель исчерпывающе охарактеризовал в "Первой аналитике" [2, с. 215, 57в1]:

"…когда два [объекта] относятся друг к другу так, что если есть один, необходимо есть и второй, тогда, если нет второго, не будет и первого; однако если второй есть, то не необходимо, чтобы был и первый. Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет."

Здесь "первый" соответствует термину x, а "второй" – термину y. То, что при наличии первого необходимо есть (не может не быть) и второй, означает существование xy-вещей и несуществование xy'-вещей, а то, что при отсутствии второго не будет и первого, – существование x'y'-вещей и, еще раз, несуществование xy'-вещей. То же, что при наличии второго не необходимо, чтобы был и первый, не исключает возможности существования x'y-вещей, не настаивая на необходимости его. Невыразимостью именно этого привходящего статуса x'y-вещей в двухзначных исчислениях объясняется безуспешность всех попыток адекватно отобразить в них отношение содержательного следования.

Употребив в качестве символа существования вещей (т. е. принадлежности их множеству взаимосвязанных рассматриваемым отношением) префиксную интегральную дизъюнкцию (дизъюнкт) Vx – "существуют x-вещи", нетрудно убедиться, что аристотелеву отношению следования соответствует нечеткое множество

VxyV'xy'Vx'y'

Ему необходимо принадлежат xy- и x'y'-вещи, антипринадлежат xy'-вещи, а умолчание принадлежности x'y-вещей означает ее привходящий статус – x'y-вещи могут принадлежать либо антипринадлежать, существовать либо не существовать. Дизъюнкт Vx – синоним льюисова Lx [1, с. 12] и модальной функции Mx, интерпретируемых обычно как "Возможность x", что не вполне корректно, поскольку надо различать актуальную возможность (существование) и потенциальную возможность (неисключенность – может существовать, а может не существовать). Вот эту выражаемую умолчанием неисключенность естественней называть просто "возможностью" в противоположность "существованию" и "несуществованию".

Нечеткое множество, "овеществляющее" посылку "Всякое x есть y", представимо с учетом сказанного следующими выражениями:

VxyV'xy'Vx'y' == VxV'xy'Vy' == LxL'xy'Ly' == MxM'xy'My'

Небезынтересно заметить, что строгой импликации Льюиса L'xy' для того, чтобы стать непарадоксальным следованием, недостает LxLy' – утверждения о существовании x- и y'-вещей. И надо сказать, что это не льюисово упущение, а принципиальный изъян современной логики в целом, причем возникший не самопроизвольно [3, с. 79]:

"…по Аристотелю, высказывание "Все A суть B" считается истинным, лишь если существуют предметы, которые суть A. Наше отклонение в этом пункте от Аристотеля оправдывается потребностями математических применений логики, где класть в основу аристотелево понимание было бы нецелесообразно".

Вот так под предлогом математических применений (на самом деле вследствие двухзначности "классических" исчислений) утратили здравый смысл.

Естественноязыковый смысл слов "Все A суть B" ("Всякому A присуще B", "B содержится в A"), выражающих содержательное, необходимое следование, свели к парадоксальной льюисовой импликации V'AB', удовлетворяющейся даже на пустом множестве вещей. При таком "следовании" оказывается, что "Из противоречия (из лжи) следует все, что угодно", и Лукасевич алгебраически доказывает [4, с. 94], что Аристотель ошибся, утверждая, что "невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет".

Стойким приверженцем здравомыслия выступает Льюис Кэррол [5], отличающий "Все x суть y" от "Ни один xy' не существует". Первое суждение он трактует как VxV'xy', а второе как V'xy', полагая, что в первом содержится утверждение о существовании x-вещей, а во втором нет. Чтобы стать аристотелевым контрапозитивным следованием, кэрролову VxV'xy' недостает Vy', т. е. проблема почти решена – изыскан смысловой, неформальный подход. Но этот актуальнейший результат Кэррола и его восхитительная трехзначная диаграмма уже более ста лет остаются невостребованными. Совершенно очевидна справедливость его беспощадного юмора: "Я буду называть их "логиками", надеясь, что в этом нет ничего обидного" [5, с. 329].

Вследствие допущенного "отклонения" в современных логических исчислениях невыразима силлогистика Аристотеля. Это другая проблема, которую тщетно пытаются решить логики, а вернее, другая сторона той же проблемы содержательного следования. Силлогистика, вопреки всеобщему убеждению, не удовлетворяет закону исключенного третьего. Она трехзначна, в основу ее положен несовместимый с исключением третьего диалектический принцип – постулат Гераклита-Аристотеля [6], утверждающий сосуществование противоположностей. Алгебраически он выражается тождеством:

VxVx'VyVy'VzVz'… == 1.

Математический смысл его в том, что первичные (несоставные) термины силлогистики x, y, z, … не могут быть безусловными константами, а должны представлять собой переменные, принимающие взаимоисключающие значения согласно гераклитову "все течет, все изменяется". Существование x-вещей мыслимо лишь как сосуществование противоположностей – VxVx'.

Приведенные выше дизъюнктивные выражения представляют отношение следования как нечеткое множество взаимосвязанных вещей. Отношение материальной импликации x -> y в таком представлении будет VxyVxy'Vx'yVx'y'. Обычно используют его характеристическую функцию: x' v y. Функция, характеризующая содержательное следование в таком смысле, оказывается трехзначной: xy v sx'y v x'y', где s - третье значение истинности, 0<s<1.

Литература

1. Слинин Я. А. Современная модальная логика. – Л: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976.
2. Аристотель. Сочинения в четырех томах. Том 2. – М: "Мысль", 1978.
3. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. – М: ИЛ, 1947.
4. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. – М.: ИЛ, 1959.
5. Кэррол Л. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. – М.: "Мир", 1973.
6. Брусенцов Н. П. Интеллект и диалектическая триада // "Искусственный интеллект", 2'2002, – Донецк, 2002. С. 53-57.

Заметки о трехзначной логике
Доложено на Ломоносовских чтениях 2003 г. на факультете ВМиК МГУ.

Опубликовано в: Программные системы и инструменты: Тематический сборник № 4 / Под ред. Л. Н. Королева. - М. Издательский отдел ВМиК МГУ, 2003, с. 35-38.