Логика и интеллект

Брусенцов Н. П.

Отмечая “некоторое несоответствие классической логики нашим интуитивным представлениям «о логике» [1, с. 49], ее ортодоксы таким образом признают ее неадекватность. Это уже не та логика, о которой Аристотель сказал, что «…будучи способом исследования, она прокладывает путь к началам всех учений» [2, т. 2, 101b3]. Классическая формальная логика не способствует, а препятствует становлению интеллекта, умения постигать объективные взаимосвязи вещей, выявлять структуру бытия. И вместе с тем, с ее точки зрения силлогистика Аристотеля — «это узкая система, неприменимая ко всем видам рассуждений, например, к математическим доказательствам» [3, с. 189], поскольку Аристотель якобы не признавал то ли пустых множеств, то ли «понятий с пустым объемом» [4, с. 18]. Но ведь аристотелевой силлогистике не свойственно несоответствие интуиции и естественноязыковым приемам рассуждения, упорядочение и обобщение которых в ней осуществлено. Классической же логике свойственно абстрагироваться от всякого содержания и здравого смысла [5]. Убедительное свидетельство тому — неразрешимость в ней проблемы содержательного следования, которое в силлогистике естественно выражается общеутвердительной посылкой:

“…по Аристотелю высказывание “Все A суть B” считается истинным, лишь если существуют предметы, которые суть A. Наше отклонение в этом пункте от Аристотеля оправдывается потребностями математических применений логики, где класть в основу аристотелево понимание было бы нецелесообразно”[6, с. 79].

Не затрагивая вопроса о математической целесообразности допущенного отклонения, заметим, что это отклонение не только от Аристотеля, но и от общепринятого в естественных языках понимания посылки “Все A суть B”, равнозначной словосочетаниям “Всякое A есть B”, “Всякому A присуще B”, “A содержит B”, “Из A необходимо следует B”. Сущность этой важнейшей взаимосвязи исчерпывающе определена в “Первой аналитике” [2, т. 2, 57b1]:

“…когда два [объекта] относятся друг к другу так, что если есть один, необходимо есть и второй, тогда если нет второго, не будет и первого, однако если второй есть, то не необходимо, чтобы был и первый. Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет”.

Чтобы придать этому определению большую наглядность и выразить его алгебраически, полагаем, что “объекты” суть признаки (качества, особенности), наличием / отсутствием которых охарактеризованы рассматриваемые вещи. Вместо “первый” введем термин x, вместо “второй” – y. Отсутствие особенности обозначим штрихом, так что полная совокупность (перечень) четко охарактеризованных вещей будет: xy, xy', x'y, x'y'. Подсовокупности, соответствующей следованию y из x, необходимо принадлежат (существуют в ней) xy- и x'y'-вещи, необходимо не принадлежат (антипринадлежат) xy'-вещи, а принадлежность x'y-вещей привходяща, не исключена и не необходима. Воспользовавшись функтором существования (интегральной дизъюнкцией) V [7], представим эту нечеткую подсовокупность конъюнкцией VxyV'xy'Vx'y', в которой привходящий член Vx'y умалчивается. В ее минимальной VxV'xy'Vy' форме явно отражена необходимость существования x-вещей, а также y'-вещей, и очевидно, что при несоблюдении этого требования (при умалчивании членов Vx и Vy') отношение следования редуцируется в “строгую импликацию” Льюиса: V'xy'. (Функтор V – синоним льюисова L и модального M, так что следование y из x выразимо соответственно как Lx'L'xy'Ly' и MxM'xy'My'. Но оправданы ли несколько символов одного и того же, тем более, сомнительно истолковываемых – “самосовместимость", “возможность"?).

Импликация Льюиса V'xy' представляет собой необходимое, но не достаточное условие аристотелева следования. Это прототип более строгих импликаций, определенный в общем универсуме УО [8]. Материальная импликация возникает из него в условиях классической логики, в универсуме Буля УБ, термины которого подчинены требованию (Vx v Vx')(V'x v V'x'), исключающему пустоту и нечеткость:

V'xy'(Vx v Vx')(V'x v V'x')(Vy v Vy')(V'y v V'y') == VxyV'xy'Vx'yVx'y' == V'xy'V(x' v y)

В универсуме Аристотеля УА принят постулат сосуществования противоположностей [7] VxVx'VyVy', поэтому льюисово V'xy' становится в нем полноценным следованием: V'xy'VxVx'VyVy' == VxV'xy'Vy'. Универсум интуиционистов УИ, в котором нечеткость не исключена, но и не необходима, занимает промежуточное положение:

V'xy'(Vx v Vx')(Vy v Vy') == V'xy'(V(x' v y) v VxVy').

В универсуме Поста УП, определенном условием (V'x v V'x')(V'y v V'y'), исключена нечеткость, но допустима пустота, в связи с чем возникли паранепротиворечивые логики. Однако естественней усматривать в нем дискретный мир вещей с попарно несовместимыми особенностями. Например: “положительные” / “отрицательные” / “не положительные и не отрицательные”, VxV'x' / V'xVx' / V'xV'x'. Это логика чисел в троичной симметричной системе счисления.

Отклонения классической логики от Аристотеля и здравого смысла обусловлено не математическими потребностями, а законом исключенного третьего, введенным античными стоиками вопреки Аристотелю, которому этот закон неправомерно приписывают. У Аристотеля третье исключается лишь в началах доказательства [2, т. 1, 996b27] ради четкого различения вещей, без которого невозможно рассуждать. В определении сущности вещи каждый термин либо присущ ей, либо присуще его отрицание, а “отрицание того, что отрицается, есть его отсутствие” [2, т. 1, 1004a13]. В определении же взаимосвязи, как показывает пример необходимого следования, третье-привходящее не исключено, и таким образом обеспечивается соответствие силлогистики здравому смыслу, которого в классической логике нет. Булева алгебра, наоборот, допускает нечеткое определение вещи, умалчиванием терминов в элементарной конъюнкции, но охарактеризовать нечеткую совокупность вещей не позволяет – статус привходящего для членов СДНФ-выражения не предусмотрен. Поэтому характеристическая функция содержательного следования булевым выражением не представима. Четкие совокупности вещей: VxyV'xy'Vx'yVx'y' – материальная импликация, и VxyV'xy'V'x'yVx'y' – эквивалентность, представимы характеристическими функциями, соответственно, xy v x'y v x'y' и xy v x'y', а нечеткую VxyV'xy'Vx'y', содержательное следование, охарактеризовать нельзя, поскольку нет обозначения привходящего статуса вещи. Требующееся обобщение булевой алгебры реализуемо в двух вариантах: 1) введением символа “привходящее” s - sumbebhkoV, позволяющего представить следование в виде xy v sx'y v x'y'- функцией, таблица истинности которой отличается от таблицы материальной импликации тем, что клетка x'y пуста, не содержит ни 1, ни 0; 2) выявлением умалчиваемых в СДНФ антипринадлежащих характеризуемой совокупности вещей, чтобы умалчивать привходящие вещи аналогично привходящим терминам, так что следование выразится, например, в виде xy v –xy' v x'y'. Первый вариант сохраняет принятый в булевой алгебре смысл констант 1, 0, а второй – умалчивание привходящего, что, по-видимому, существенней, тогда как в качестве констант трехзначной логики практически уже внедрились +, 0, – [9, 10, 11].

Трудность проблемы в нашей неспособности отрешиться от привычных, но не отвечающих действительности положений. Характерен пример Яна Лукасевича, который “в борьбе за освобождение человеческого духа” изобрел свою трехзначную логику, но вместе с тем рассматривал силлогистику Аристотеля с точки зрения классической двухзначной, естественно приходя к курьезным заключениям. Так, он алгебраически доказал [3, с. 94] “ошибочность” цитированного выше аристотелева положения, что “невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет”, подменив содержательное следование материальной импликацией: (x -> y)(x' -> y) = y. Но ведь по сути полученное им равенство формулирует парадокс материальной импликации “Истинное следует из любого”. В УА следование непарадоксально, потому что термин не может быть константой. Стоики обошлись правилами modus ponens и modus tollens. А современные логики пытаются преодолеть парадоксы импликации, но для этого необходимо третье-привходящее, которого в двухзначной логике не может быть. Поразительно, что и трехзначные импликации Лукасевича, Гейтинга, Бочвара, Клини, Собочинского содержательного следования не выражают. Нет его и в призванных усовершенствовать классическую логику трехзначных логиках [9, 10], поскольку в них не предусмотрено привходящее в совокупностях вещей.

Адекватным инструментом интеллекта оказывается силлогистика Аристотеля при надлежащем трехзначном истолковании [12]. Статус первичных (несоставных) терминов предполагается в ней четко определенным, двухзначным, тогда как принадлежность элементов совокупности 2-го уровня (совокупности вещей) трехзначна: “необходимо есть” / “необходимо нет” / “привходяще”. При этих предположениях алгебра силлогистики в условиях УА обретает естественный, непарадоксальный, диалектический характер, является подлинным аристотелевым Органоном в современном исполнении.

Литература

1. Линдон Р. Заметки по логике. М.: “Мир", 1968.
2. Аристотель. Сочинения в четырех томах. М.: “Мысль", т. 1 – 1975, т. 2 – 1978.
3. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: ИЛ, 1959.
4. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Т. Введение в математическую логику. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1982.
5. Лосев А. Ф. Критические заметки о буржуазной математической логике // Историко-математические исследования. Вторая серия, выпуск 8 (43). М.: “Янус-К", 2003. С. 339-401.
6. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ, 1947.
7. Брусенцов Н. П. Интеллект и диалектическая триада // Искуственный интеллект 2’2002. Донецк, 2002. с. 53-57.
8. Брусенцов Н. П. Блуждание в трех соснах (Приключения диалектики в информатике). М.: SVR-Аргус, 2000.
9. Вригт Г. Х. фон. Логика истины // Г. Х. фон Вригт. Логико-философские исследования. Избранные труды. М.: “Прогресс", 1986. С. 555-579.
10. Guzman de Rojas I. The trivalent logic of Aymara // http://www.aymara.org/biblio/igr/igr3.html.
11. Брусенцов Н. П., Владимирова Ю. С. Конструктная компьютерная реализация булевой алгебры // Математические методы распознавания образов (ММРО-11). М.: ВЦ РАН, 2003. С. 33-34.
12. Брусенцов Н. П. Трехзначная интерпретация силлогистики Аристотеля // Историко-математические исследования. Вторая серия, выпуск 8 (43). М.: “Янус-К", 2003. С. 317-327.

Заметки о трехзначной логике
Доложено на Международной конференции “Интеллектуализация обработки информации ИОИ2004.

Опубликовано: Искусственный интеллект 2’2004, с.28-31.