Неадекватность двоичной информатики

Брусенцов Н. П.

О неполноценности двоичной информатики и лежащей в основе ее двухзначной логики убедительно свидетельствует запутанность ключевой логической проблемы - отношения содержательного (необходимого) следования. Известно, что так называемой “материальной импликации”, отождествляемой в двухзначной логике с отношением следования, присущи парадоксы: ”из ложного следует все, что угодно”, “истинное следует из чего угодно”. Многочисленные попытки устранить эти парадоксы конструированием исчислений “строгой”, “сильной”, “релевантной” и других импликаций цели не достигли и не могли достичь, потому что содержательное, непарадоксальное следование трехзначно, несовместимо с законом исключенного третьего.

Отношение, взаимосвязывающее термины x, y, отображается подмножеством декартова произведения
{x,x'}x{y,y'}{ xy, xy', x'y, x'y'}. Материальная импликация представлена четким подмножеством {xy, x'y, x'y'} и соответственно характеристической функцией:

Эта функция принимает значение “1”, утверждая, что отношение соблюдено, при x = 0, независимо от y, и при y=1, независимо от x, в чем и состоят парадоксы, означающие в сущности отсутствие взаимосвязи терминов. Таким образом, соблюденность материальной импликации есть не необходимость, а лишь не невозможность, т.е. возможность следования.

Нетрудно понять, что несовершенство материальной импликации обусловлено наличием в представляющем ее подмножестве члена x'y, однако, исключив его, имеем {xy, x'y'} и характеристическую функцию отношения эквивалентности, а необходимое следование, четким подмножеством непредставимо. Требуется нечеткая (трехзначная) принадлежность элемента множеству и соответственно обобщение двухзначной булевой алгебры четких классов в трехзначную алгебру нечетких классов, допускающую помимо включенных и исключенных подклассов также привходящие ( σ-классы), не включенные и не исключенные.

В трехзначной логике нечетких множеств и нечетких классов отношение содержательного естественноязыкового следования представлено декартовым нечетким подмножеством {xy, σx'y,  x'y'} и характеристической функцией , принимающей значение “0”, если следование невозможно, значение “1”, если выполняется с необходимостью, и значение “σ”, если возможно, но не необходимо.

В троичном компьютере с +, 0, – значениями тритов удобнее сопоставлять невозможности “–”, необходимости “+”, а собственно возможности “0” , условившись умалчивать возможные, но не необходимые (собственно возможные, нулевые) члены. При этом следование будет представлено подмножеством {xy,  -xy', x'y'} и характеристической функцией , кодируемыми четырехтритным кодом (четырехтритной ДК-шкалой) + – 0 + .

Экстенсиональное истолкование силлогистики, не позволяющее усмотреть в ее общеутвердительной посылке “Все x суть y” отношение следования с необходимостью y из x , обусловлено принятием в качестве “первых сущностей” единичных вещей [“Категории”, 2a11], а не тех несоставных особенностей, совокупностями которых эти вещи определены. Установив, что “...для уразумения через определение первее общее, а для чувственного восприятия - единичное” [“Метафизика”, 1018b32], Аристотель признал первичным единичное, оправдывая это тем, что все прочее находится в единичных вещах, и если бы они не существовали, “не могло бы существовать и ничего другого” [“Категории”, 2b1].

Верно, что сущности несоставных в рамках данного рассмотрения особенностей воспринимаются и познаются путем сопоставления вещей, которым эти особенности присущи, с вещами, которым они антиприсущи (необходимо не присущи). Но вместе с тем сущности единичных вещей представлены конъюнктивными совокупностями (множествами) существенных для цели рассмотрения несоставных особенностей. Так что и конструктивно, и по сути дела первичны все?таки не единичные вещи, а их несоставные особенности. Полагая первичными сущностями единичные вещи, приходится конструировать несоставные особенности их как дизъюнктивные совокупности (классы) индивидных конъюнкций?множеств терминов, которыми эти вещи представлены, в чем и состоит общепринятая экстенсиональная (объемная) трактовка силлогистики.

Принципиальное достоинство интенсионального истолкования заключается в том, что оно допускает диалектическую, адекватную живой реальности трактовку. Так, если экстенсиональный двухтерминный универсум представляет собой объединение (класс) всех мыслимых в нем единичных вещей:

то интенсиональная версия того же универсума оказывается выражением диалектического принципа сосуществования несоставных противоположностей:

VxVx' VyVy'

Примечательно, что строгая импликация Льюиса V'xy', означающая в экстенсиональном универсуме парадоксальное отношение материальной импликации

в интенсиональном становится полноценным содержательным следованием:

V'xy'VxVx'VyVy' VxV'xy'Vy'

Соблюденность сосуществования противоположностей VxVx'VyVy' означает, что термины x,  y непременно должны быть переменными, не могут быть константами. Ведь парадоксы материальной импликации и возникают при x0 и при y1. Вместе с тем сущность несоставного термина может быть установлена лишь сопоставлением вещи, которой этот термин присущ, с вещью, которой он антиприсущ, так что реальное существование x - это сосуществование x и x' , т.е. VxVx' - собственно возможность x .

В базируемой на сосуществовании противоположностей трехзначной логике отсутствуют парадоксы и нелепости «классической» логики. Она безупречно соответствует здравому смыслу, неомертвленной реальности. В частности, силлогистика, обретя упущенную ненароком диалектичность, сводится к восьми видам двухтерминных отношений, компактно кодируемых четырехтритными шкалами:

При этом все правильные модусы силлогизмов доказуемы посредством стандартной процедуры манипулирования кодирующими посылки шкалами [1]. Например, модус Barbara :

Литература

1. Брусенцов Н.П. Реанимация аристотелевой силлогистики // Реставрация логики. – М.: Фонд «Новое тысячелетие», 2005. c.140-145.

Заметки о трехзначной логике
Доложено на
Первой Международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование»
Опубликовано:
«Современные информационные технологии и ИТ-образование». Сборник докладов. – М.: МАКС Пресс, 2005. c. 501-503.
http://www.computer-museum.ru/books/archiv/sokcon28.pdf
Помещено в музей 24.03.2007 с разрешения автора, по тексту с сайта http://ternarycomp.narod.ru/