Троичная диалектическая информатика

Н.П. Брусенцов, Ю.В. Владимирова

Неполноценность современной двоичной информатики, наглядно проявляющаяся в невозможности естественного представления чисел со знаком двоичным кодом, обусловлена неадекватностью ее основы — двухзначной логики. Эта так называемая классическая формальная логика, базирующаяся на априорном законе исключенного третьего, не составляет совершенного отображения реальности, не согласуется со здравым смыслом. Потому она, в отличие, например, от арифметики, практически не используется для решения реальных проблем. По существу это логика искусственного дискретного мира двоичных компьютеров. В ней отсутствуют модальности, возможность неотличима от необходимости. Даже фундаментальнейшее логическое отношение содержательного следования вырождено в “материальную импликацию”, парадоксы которой выдающиеся логики упорно, но тщетно пытаются преодолеть на протяжении почти ста лет.

Понятно, почему не удается сделать логику школьным предметом, несмотря на то, что воспитание логичного мышления — первейшая задача школы, как и вузов, в которых логика, хотя и преподается, но не способствует совершенствованию умов. Положение крайне ухудшилось с компьютеризацией образования: ведь при практической безрезультатности разговоров об интеллектуализации машинной обработки информации и об информационной безопасности совершается повсеместное подавление творческого человеческого интеллекта ходульной двухзначной логикой.

Основоположником логики справедливо считается Аристотель, создавший систему доказательного умозаключения — силлогистику, которая все еще остается непревзойденным интеллектуальным инструментом. Силлогистика диалектична, и в ней нет парадоксов, но она не отобразима в современных логических исчислениях, что стало поводом для подозрений, будто у Аристотеля что-то не так, например, будто он не признавал пустых множеств. На самом деле в силлогистике налицо не только пустые, но и нечеткие множества, открытые Л. Заде в 1965 г . и все еще “не освоенные” современной логикой. Но принципиальное отличие логики Аристотеля от современной “классической” в том, что она не двухзначна, а трехзначна [3]. Вопреки “закону исключенного третьего” у Аристотеля наряду с “необходимо есть” и “необходимо нет”, имеется третье — “возможно, есть и, возможно, нет”. Трехзначность присуща отношению следования, исчерпывающе определенному Аристотелем в “Первой аналитике”:

“…Когда два [объекта] относятся друг к другу так, что если есть один, необходимо есть и второй, тогда, если нет второго, не будет и первого, однако если второй есть, то не необходимо, чтобы был первый. Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть и когда его нет ”.

В силлогистике отношение следования представлено общеутвердительной посылкой Всякое x  есть у , сущность которой в том, что всякая x -вещь необходимо есть xy -вещь, а всякая y ? -вещь (не- y -вещь) необходимо есть x?y?-вещь. При этом естественно исключены (невозможны) xy ?-вещи, поскольку x  необходимо должно быть у  (не может быть у ?). Однако вместе с тем x ? y -вещи не исключены, они возможны , но не необходимы в силу наличия xy  — и x ? y ? -вещей. Если же наряду с “Всякое x  есть у ” выполняется “Всякое у  есть x ”, то будут исключены как xy?-, так и x?y-вещи, т.е. получится отношение эквивалентности — х  равнозначно у , выразимое в двухзначной логике: “равнозначно/неравнозначно”. Для отношения же следования требуются три значения: “необходимо есть” / “возможно, но не необходимо” / “невозможно”, поэтому двухзначной импликации для адекватного выражения следования недостаточно. При наличии xy ? -вещей следование невозможно, а если х -вещей нет, то следование не исключено, т.е. возможно, но не необходимо. В случаях же несуществования х -вещей, либо у -вещей, импликация вообще не выражает никакой взаимосвязи между терминами, не составляет двухместного отношения. В этих случаях другой термин волен принимать любое значение независимо.

Для устранения “парадоксов” импликации достаточно предотвратить эти случаи непеременности (константности) ее терминов. Так, строгая импликация Льюиса, представляющая собой несуществование ху? -вещей, т.е. V ?ху? , парадоксально выполняется при несуществовании х -вещей, а также при несуществовании y?-вещей, т.е. при V?х и при V?у?. Парадоксов не станет, если наряду с V ?ху? потребовать V х  и V у?  — существования х -вещей и у? -вещей. В результате импликация Льюиса превращается в аристотелево необходимое следование VxV?xy?Vу? [1]. В совершенной дизъюнктной нормальной форме этого отношения — VхуV?хVх? — очевидна его трехзначность: наряду с принадлежностью рассматриваемому подмножеству декартова произведения {х, х?} х {у, y ?} членов ху, х?у? и антипринадлежностью ху? умалчивается член х?у . Умалчиванием выражена третья разновидность принадлежности — привходящая, возможная, но не необходимая. Подмножество, допускающее привходящую принадлежность, нечетко, а представленное им отношение трехзначно.

В математической логике отклонение от аристотелева истолкования общеутвердительной посылки “Все А суть В”, превратившее ее из содержательного следования в двухзначную импликацию, Гильберт и Аккерман оправдывали потребностями математических применений логики, “где класть в основу аристотелево понимание было бы нецелесообразно” [2, с. 79]. Они не придавали значения тому, что логика при этом утратила содержательность, полагая, что их логическое исчисление “делает возможным успешный охват проблем, перед которыми принципиально бессильно чисто содержательное логическое мышление” [2, с. 17].

На самом деле бессодержательной логику сделали 2,3 тыс. лет тому назад античные стоики, также стремившиеся к запредельной абстрактности, которая была осуществлена посредством “высказываний”, подчиненных “закону исключенного третьего”, допускавшему для высказывания только два значения “истинности” — “истина / ложь”. Именно двухзначностью адекватная живой реальности силлогистика Аристотеля превращена в мертвую схоластику. Математическая логика лишь выразила эту “классику” в строгих алгебраических формах, с очевидностью выявивших ее неадекватность [3].

Стоики “скомпенсировали” отсутствие в их логике отношения следования с необходимостью осуществлением умозаключений по правилам modus ponens и modus tollens . В математической логике также указывают на то, что импликация — это не следование: “Соотношение”если Х то Y “не следует понимать как выражение для отношения основания и следствия. Напротив, высказывание Х→Y истинно всегда уже в том случае, когда X есть ложное или же Y истинное высказывание [2, с. 20]. Однако вместе с тем в математической логике даже сами ее основоположники отождествляют двухзначную импликацию с трехзначным аристотелевым следованием, поскольку и то и другое ассоциируется с суждением “Все А суть В”. В результате с точки зрения математической логики признаны ошибочными безупречные в действительности модусы силлогистики darapti, damalip, felapton, fesapo [2, с. 79] и отвергается силлогизм подчинения частного общему, ибо согласно отклонению от аристотелева истолкования в суждении “Все А суть В” не содержится с необходимостью “Некоторые А суть В”.

Ян Лукасевич, изобретя в 1920 г . трехзначную модальную логику, в своей обстоятельной книге “Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики” [4] алгебраически “доказал” путем отождествления трехзначного следования с материальной импликацией, что цитированное выше аристотелево утверждение: “Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет” неверно. Оно неверно с точки зрения логики, не соблюдающей основной логический закон — закон тождества. Суждение “Все А суть В”, выражающее отношение следования В из А , нельзя отождествлять с “Ни одно А не есть не-В”, которым в естественном языке представлено двухзначное отношение импликации.

Беда, по-видимому, в том, что логика немыслима без отношения следования, которое в сущности трехзначно и в двухзначной логике естественно отсутствует. Отношение, называемое импликацией, подобно следованию, выражается тем же “если… то” и обозначается той же стрелкой →. Не удивительно, что импликацию принимают за следование. Но если без следования нет логики, то логика с импликацией в качестве следования тем более не логика. В ней из несуществующего следует “все, что угодно”, из “2 в 2 = 4” следует, что “снег бел”.

Это все та же ущербная, пренебрегающая здравым смыслом двухзначная логика, и результат ее внедрения, естественно, не оправдывает ожиданий. Так, в книге Т. Оппенгеймера [5] неопровержимо доказана пагубность компьютеризации обучения в школах США. Автор настаивает на удалении компьютеров из школы, что едва ли осуществимо в сложившейся ситуации. Но ведь корень зла не в компьютерах, а в заложенной в них примитивной, противоестественной логике дискретного двоичного мира, которая прививается учащимся, блокируя их способность овладеть логикой мира реального. Окажись в компьютерах благоразумная естественная логика, результат компьютеризации обучения был бы диаметрально противоположным.

Однако адекватной (диалектической) логики сегодня нет не только в компьютерах, но и во всей “науке о мышлении”, даже в той ее части, которая не подчинена догматическому “закону исключенного третьего” (неправомерно приписываемому Аристотелю) и сосредоточилась на изобретении недвухзначных (“неаристотелевых”) логик. Изобретательство это безуспешно, потому что носит чисто формальный характер. Если бы исследовали проблему по существу, то обнаружили бы, во-первых, что логика Аристотеля трехзначна, а во-вторых, что трехзначность — необходимое, но не достаточное условие адекватности логики. Логика же Аристотеля адекватна, поэтому изобретать неаристотелевы логики нет смысла.

Отрадным исключением является “Символическая логика” Льюиса Кэрролла [6], не нашедшая (как и аристотелева) должного понимания и надлежащего развития. У Кэрролла нет ни бессодержательных “истинных” / “ложных” высказываний, ни “закона исключенного третьего”. Его логика исследует суждения, выражающие взаимосвязи (отношения) вещей, охарактеризованных совокупностями признаков (особенностей). “Во Вселенной множество вещей … Вещи обладают признаками … Любой признак или любую совокупность признаков будем называть также особенностью вещи”.

Суждение рассматривается как естественноязыковое выражение отношения, которым связаны обозначаемые посредством терминов x, y, z, … особенности вещей. Вместе с тем сущность того же отношения Кэрролл наглядно отображает на изобретенной им диаграмме и алгебраически так называемым “методом индексов”, позволяющим формально получить содержательное умозаключение из данных суждений, если оно существует.

Диаграмма Кэрролла внешне тождественна таблице истинности Пирса, используемой для определения булевых функций. Однако истолковывается представленное диаграммой не экстенсионально (не как класс вещей), а интенсионально — как множество вещей, а точнее, как подмножество декартова произведения попарно противоположных особенностей. Кроме того, клеткам диаграммы присваивается не одно из двух, а одно из трех значений — наряду с содержащими “0” либо “1” допускаются незанятые (пустые) клетки, означающие несущественность принадлежности соответствующих им вещей представленному на диаграмме подмножеству. Правда, сам Кэрролл понимал значение “1” как существование, значение “0” как несуществование вещи, а незанятость клетки у него не утверждает ни того, ни другого.

Например, отношение строгой импликации Льюиса V?xy? на двухтерминной диаграмме Кэрролла представлено единственным значением “0” в xy ? -клетке. Кэрролл выражал это отношение трояко: общеотрицательным суждением “Ни один xy? не существует”, либо “Ни один х не есть у? ”, либо “Ни один у? не есть х ”.

Общеутвердительное суждение “Все х  суть у ” у Кэрролла содержало в себе необходимо следующее из него частноутвердительное “Некоторые х  суть у ”, равносильное суждению существования “Некоторые x у  существуют”. Кэрролл называл “Все х суть у” двойным суждением, эквивалентным двум суждениям: “Ни один х не есть у?” и “Некоторые х суть у”, т.е. V?ху?Vху — на диаграмме “0” в клетке xу? и “1” в клетке ху.

Ясно, что это уже не импликация (один из ее парадоксов устранен), но еще и не полноценное аристотелево следование. Не учтена контрапозитивность следования — оплошность, присущая, по-видимому, всем известным попыткам алгебраизации силлогистики. Восполнением этого упущения [7] “Символическая логика” Кэрролла превращается в наредкость стройное и безупречное изложение категорической силлогистики Аристотеля — фундамента диалектической логики.

Важнейшим критерием содержательности логики оказался выявленный в основании силлогистики Аристотеля диалектический принцип сосуществования противоположностей [8]. Контрапозитивность общеутвердительного суждения, как и симметричность отношения, выражаемого общеотрицательным суждением, представляют собой очевидные проявления этого принципа. Сущность же его в том, что обозначаемые посредством терминов x, y, z, … первичные (несоставные) особенности x, x?, y, y?, z, z?, … обретают смысл только в результате сопоставления вещей, обладающих противоположными особенностями, например x-вещи с x?-вещью.

Другими словами, принцип сосуществования противоположностей означает, что подмножеству декартова произведения {х, х?} x {у, у?}, отображающему содержательное отношение, необходимо принадлежат (сосуществуют в нем) все попарно противоположные особенности — V х Vх?VуVу?. На диаграмме Кэрролла выражение VхVх?VуVу? отображается наличием фишки существования “1” на каждой из четырех внутренних стенок, означающим непустоту классов х, х?, у, у?.

Это адекватный реальности Универсум Аристотеля (УА) — основа содержательной логики [8]. Именно в нем льюисова имлликация V?xy? и кэрроллово VхV?xy? необходимо превращаются в полноценное следование:

(V'ху')(VхVх'VуVу') ≡ VхуV'ху'Vх'у';

(VхV'ху')(VхVх'VуVу') ≡ VхуV'ху'Vу'.

Несуществование какой-либо из возможных на двухтерминной диаграмме вещей, например ху -вещи, в УА означает существование двух смежных с ней вещей:

(V'ху)(VхVx'VуVу') ≡ V'хуVхVу ≡ V'хуVху'Vх'у .

Существование же, например, ху' -вещи в силу принципа сосуществования противоположностей необходимо влечет также существование ее антипода — х'у -вещи. Поэтому частноутвердительная и частноотрицательная посылки силлогистики оказываются двойными и их всего две, а не четыре:

Iху ≡ АхуAух ≡ VхуVх'у';

Оху ≡ ЕхуЕх'у' ≡ Vху'Vху'.

Вместе с тем общих посылок оказывается не две, а четыре, впрочем, сводящиеся к одной инвертированием терминов: Еху ≡ Аху', Ех'у'≡ Aх'у, Aух ≡ A х'у'.

Алгебра силлогистики, соответствующая кэрроллову истолкованию его диаграммы с фишками, символизирующими существование и несуществование вещей, сопоставленных клеткам и разделяющим клетки стенкам, аналогична методу индексов, но вместо индексов использует префиксный функтор существования V — дизъюнкт (интегральная дизъюнкция, подобная интегральной сумме ∑) и его инверсию V' — символ несуществования. Представленное на диаграмме отношение отображается конъюнкцией дизъюнктов, неинвертированньтх и инвертированных, а члены конъюнкции, соответствующие пустым клеткам, умалчиваются.

Дизъюнктная алгебра компьютеризована путем отображения диаграммы-матрицы в одномерную ДК-шкалу тритов [9], сопоставленных клеткам диаграммы в порядке убывания соответствующих им особенностей: ху, ху', х'у, х'у' . Каждый трит принимает одно из трех значений: «+» - существование, «–»- несуществование, «0» — умалчивание. Например, следование (х⇒у)≡ VхуV'ху'Vх отображается значением четырехтритной шкалы: +–0+, частноотрицательная посылка Оху кодируется значением: 0++0.

Всего в силлогистике восемь двухместных отношений [10]:

Аху ≡ Ау'х' ≡ Еху' ≡ Еу'х ≡ +–0+

Аух ≡ Ах'у' ≡ Еух' ≡ Ех'у ≡ +0–+

Еху ≡ Еух ≡ Аху' ≡ Аух' ≡–++0

Ех'у' ≡ Еу'х' ≡ Ах'у ≡ Ау'х ≡ 0++–

Iху ≡ I х'у'≡ Iух ≡ Iу'х' ≡ Оху' ≡ Оух' ≡ Ох'у ≡ Оу'х ≡ +00+

Оху ≡ Оу'х' ≡ Оух ≡ Ох'у' ≡ Iху' ≡ Iу'х ≡ Iх'у ≡ Iух' ≡ 0++0

x ⇔ у ≡ Аху ≡ Аух ≡ Еху' ≡ Еух'

х ⇔ у' ≡ Еху ≡ Еух ≡ Аху'≡ Аух'

Компьютеризованное доказательство умозаключений (правильных модусов силлогизма) осуществляется путем представления двухтерминных посылок трехтерминными шкалами, из пересечения которых элиминацией среднего термина выявляется искомое заключение, если оно существует. Например, модус barbara : AуzAху ⇒ Aхz в трехтерминных x , y , z -шкалах реализуется так:

Aуz ≡ + – 0 + + – 0+

Aху ≡ ++– – 00 ++

Aуz ∩ Aху ≡ + – – – 000+

Элиминация y дает x , z -шкалу +–0+, т.е. Axz .

Подчиненность частных посылок общим доказывается пересечением кодирующих эти посылки шкал. Так, подчинение Аху ⇒ Ixy , равносильное АxуIxу = Axу , удостоверяется пересечением +–0+ ∩ +00+ = +–0+

В базируемой на сосуществовании противоположностей силлогистике доказуемы все сомнительные с точки зрения классической логики модусы, а также ряд модусов, упущенных традиционной силлогистикой. Например, из посылок сомнительного модуса bamalip на самом деле следует не только частное, но и общее заключение:

Azy ≡ +0–++0–+

Aух ≡ ++00 – – ++

Azy ∩ Aух ≡ +0 – 0 – – – +

Элиминировав у, имеем +0–+ ≡ Azх ≡ Aх'z', т. е. AzуAух ⇒ Azх.

Коррекцией традиционной теории является доказательство отрицаемого ею модуса первой фигуры Iyz Аху ⇒ I х z :

Iуz ≡ +00++00+

Aху ≡ ++– – 00++

Iуz ∩ Aху ≡ +0– – 000+,

что по исключении у есть +00+, т.е. I х z

Таким же образом доказуема правильность другого непризнанного модуса первой фигуры IуzЕху ⇒ Охz а также аналогичных модусов других фигур.

Литература

1. Брусенцов Н.П. Трехзначная интерпретация силлогистики Аристотеля // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 8 (43). М.: «Янус-К», 2003.
2. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ, 1947.
3. Лосев Л.Ф. Критические заметки о буржуазной математической логике // Историко-математические исследования.
4. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: ИЛ, 1959.
5. Oppenheimer T. The Flickering Mind: The False Promise of Technology in the Classroom and How Learning Can Be Saved. – New York, Random House , 2003.
6. Кэрролл Л. Символическая логика // Кэрролл Л. История с узелками. М.: Мир, 1973.
7. Брусенцов Н.П. Диаграммы Льюиса Кэрролла и аристотелева силлогистика // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып. 13. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.
8. Брусенцов НП. Блуждание в трех соснах: (Приключения диалектики в информатике). М.: SVR - Аргус, 2000. (www.computer-museum.ru)
9. Брусенцов Н.П., Владимирова Ю.С. Троичная компьютеризация логики // Математические методы распознавания образов: 12-я Всероссийская конференция: сб. докл. М.: МАКС Пресс, 2005.
10. Брусенцов Н.П. Реанимация аристотелевой силлогистики // Реставрация логики. М.: Фонд Новое тысячелетие, 2005.

Материалы международной конференции SORUCOM 2006 (3—7 июля 2006 года)
Развитие вычислительной техники в России и странах бывшего СССС: история и перспективы
Статья помещена в музей 31.10.2007 с разрешения автора